\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\arctg}{\mathop\textup{arctg}}
\newcommand{\arth}{\mathop\textup{arth}}
\newcommand{\tah}{\mathop\textup{th}}
\newcommand{\ch}{\mathop\textup{ch}}
\newcommand{\sh}{\mathop\textup{sh}}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d}x}
\newcommand{\dy}{\mathrm{d}y}


\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
10. gyakorlat: Elemi fügvények, L'Hospital-szabály
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát és 
paritását (páros, páratlan, vagy egyik sem)!
\[
\tg x,\quad \arctg x,\quad \frac{x^5+x^3+x}{x-1},\quad 
\frac{x^5}{\sin x}, \quad \sh \left(x^5\right)
\]

\item Igaz-e valós függvényekre, hogy 
\begin{enumerate}
\item párosszor páros az páros, 
\item páratlanszor páratlan az páratlan,
\item páratlanszor páros az páros,
\item páratlan reciproka páratlan (0-ban legyen a reciprokfüggvény 0),
\item páros és páratlan összege páratlan,
\item páratlan inverze (ha létezik) páratlan?
\end{enumerate}

\item Mi a 
\[
\left(\left(\sqrt{\log_\frac 12 \frac x\pi}+\frac1{x^2-2x-3}\right)
\frac1{\tg\left(x-\frac\pi2\right)}+1\right)^2\lg\lg x\text{\,?}
\]
függvény értelmezési tartománya?

\item 
Számoljuk ki az alábbi függvények inverzét! Ehhez persze meg kell 
határozni az inverzfüggvény értelmezési tartományát is!
\[
\frac{x+1}{x-1},\quad\arctg\sin x,\quad\tah\left(1-4x\right),\quad
f(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\left(x+1\right)^4&\text{,\,ha $x>-1$}\\
-\left(x+1\right)^2&\text{,\,ha $x\leq-1$}
\end{array}
\right.
\]

\item L'Hospital-szabályra főbb típusok
\begin{enumerate}
\item[$\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$] $\frac{x}{e^x}$, ahol $x\to\infty$
\item[$\left(\frac{0}{0}\right)$] $\frac{\tg x - 1}{\sin 4x}$, ha $x\to\frac\pi4$
\item [$\left(0\cdot\infty\right)$] $\sqrt x \ln x$, amint $x\to0$
\end{enumerate}

\item 
Határozzuk meg a következő határértékeket a L'Hospital-szabály segítségével!
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}x$,~~~
  $\lim\limits_{x\to0+}e^{\frac1x}x^2$,~~~
  $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{2x}\left(x^5+2x^4+32x^3-3x^2-1\right)$
\item $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x$,~~~
  $\lim\limits_{x\to\infty}x^{-\frac12}\ln x$
\item $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac\pi2-\arctg x}{\sin\frac1x}$
\item $\lim\limits_{x\to0^+}x^x$,~~~
$\lim\limits_{x\to0^+}\left(\tg x\right)^x$

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
