\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\dx}{\,\mathrm{d}x}
\newcommand{\dy}{\,\mathrm{d}y}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm{d}t}
\newcommand{\dr}{\,\mathrm{d}r}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
11. gyakorlat: Az integrálás alapjai
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat!
\begin{align*}
&\int(x^2 + 6x - 5) \dx && &\ & \int(\sqrt x + \sqrt[3]{x^2})\dx\\
&\int(2t - 3)^{100} \dt && &\ & \int r^2 \sqrt[3]{1 + r^3} \dr\\
&\int \sin^3x \cos x \dx && &\ & \int \cos^3 x \dx\\
&\int \sin^2 x \dx && &\ & \int \tg x \dx\\
&\int x^2 \sin 2x \dx && &\ & \int x \cos^2 x \dx
\end{align*}

\item Számítsuk ki a következő határozott integrálokat!
\begin{align*}
&\int\limits_0^1 x \dx + \int\limits_2^1 -x \dx + \int\limits_3^3 x^3 \dx, &\ &
&&\int\limits_0^5 (5x^3 + 1) \dx,&\ &
&& \int\limits_{\sqrt \frac \pi 2} ^{\sqrt \pi} 2x \cdot \cos x^2 \dx.
\end{align*}

\item Számítsuk ki a következő függvények átlagát
a megadott intervallumokon!
\begin{align*}
&f(x) = 3x^2, \ \ \ [-4, -1]; &&g(x) = \sin x, \ \ \ [0, \pi/2].
\end{align*}
Adjunk meg az intervallum belsejében olyan pontot, ahol a
függvényérték megegyezik az átlaggal!

\item Számítsuk ki az alábbi függvények által meghatározott
görbevonal\'u trapéz területét!
\begin{enumerate}
\item $x^3 - 3$, $[3, 4]$;
\item $\sqrt{9 - x}$, $[0, 8]$.
\end{enumerate}

\item Az integrál kiszámítása nélkül bizonyítsuk be,
hogy az
\[
y = \sin x - \int\limits_\pi^x \frac 1t \dt + x
\]
függvény kielégíti a következő feltételeket:
\begin{align*}
&y'' = \frac 1{x^2} - \sin x && y(\pi) = \pi
&& y'(\pi) = -\frac 1 \pi
\end{align*}

\item Integrálás segítségével adjunk becslést a
\[
1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 + \ldots + \sqrt n
\]
kifejezés értékére!
\end{enumerate}
\end{document}
