\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2004/2005 tavasz\\
4. gyakorlat: Csoportok, elem rendje, ciklikus csoport
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletekkel? Melyek 
Abel-csoportok?
\begin{enumerate}
\item $G=\{z\in\Z\,\mid\,\,1\ge z\ge m, (z,m)=1\}$, művelet a modulo $m$ 
összeadás;
\item $\Z_m^*=\{z\in\Z\,\mid\,\,1\ge z\ge m, (z,m)=1\}$, művelet a modulo $m$ 
szorzás;
\item $G=\left\{\left(\begin{array}{ll}a&b\\0&1\end{array}\right)\,:
\,\,a,b\in\R,a\neq0\right\}$, mátrixszorzás;
\item $\Q(\sqrt2)^*=\{a+b\sqrt2\,\mid\,\,a,b\in\Q\text{ valamelyik nem 0}\}$, 
szorzás.
\end{enumerate}

\item 
Tegyük fel, hogy egy $G$ csoportban minden $a\in G$-re $a^2=e$
(azaz minden elem másodrendű). Igazoljuk, hogy $G$ kommutatív.

\defi 
Jelölje az $a\in G$ elem rendjét $\ord(a)$.

\item
Igazoljuk, hogy $\ord(ab)=\ord(ba)$.

\item\hf Legyen $g\in G$.
\begin{enumerate}
\item Igazoljuk, hogy ha $g^n=e$, akkor $\ord(g)$ osztója $n$-nek.
\item Tegyük fel, hogy $\ord(g)=n$. Bizonyítsuk be, hogy 
$\ord(g^k)=\frac n{(n,\left|k\right|)}$, ha $k\in\Z$.
\end{enumerate}
%vö számelméletből tanult rend hasonló tulajdonságai

\item 
Hányadrendű elemek vannak a következő csoportokban?
\begin{enumerate}
\item $(\R\setminus\{0\};\cdot)$;
\item $(\R;+)$;
\item $(\C\setminus\{0\};\cdot)$;
\item $C_n$, az $n$ elemű ciklikus csoport;
\item $(\Z_q^*;\cdot)$, ha $q$ prímhatvány.
\end{enumerate}

\item \hf
Számoljuk a $\Z_9^*$ és a $\Z_{15}^*$ csoportokban minden elem rendjét. Mi a 
pontos feltétele annak, hogy $\Z_m^*$ ciklikus legyen?

\item 
Mennyi egy ciklikus csoportban az összes elem szorzata? És tetszőleges
kommutatív csoportban?
%vö Wilson tétele + redukált maradékrendszer szorzata mod pq (exbonusz hf)

\item
Ha $G$, $H$ csoportok $g\in G$ és $\varphi\colon G\to H$ homomorfizmus, akkor 
mutassuk meg, hogy $\ord(\varphi(g))$ osztója $\ord(g)$-nek, továbbá ha 
$\varphi$ injektív, akkor egyenlőek is.

\item\hf
Adjuk meg a $C_n$ ciklikus csoport összes automorfizmusát (önmagába menő 
izomorfizmusát).

\defi 
Az $X\subseteq G$ részhalmaz által generált részcsoportot $\left<X\right>$ 
jelöli.

\item
Lássuk be, hogy $g\in G$ esetén 
$\left<g^k,g^\ell\right>=\left<g^{(k,\ell)}\right>$.

\item
Legyen $G$ olyan véges csoport, amelynek egyetlen (valódi) maximális 
részcsoportja van. Bizonyítsuk be, hogy $G$ ciklikus. Mondhatunk
ennél többet is $G$-ről?

\item 
Bizonyítsuk be, hogy $G$ pontosan akkor véges csoport, ha véges sok 
részcsoportja van. 
%Útmutatás: Bb: végtelen ciklikus csoportnak végtelen sok részcsoportja van

\end{enumerate}
\end{document}
