\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2004/2005 tavasz\\
7. gyakorlat: Permutációk, permutációcsoportok
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Adjuk meg a következő permutációk diszjunkt-ciklus felbontását!
\begin{enumerate}
\item $(12345)^{-1}(123)(45)(12345)$
\item $(123)(124)(125)\dots(12n)$
\end{enumerate}

\item\hf
Bizonyítsuk be, hogy
\begin{enumerate}
\item Ha bármely $i$ elemet a $\sigma$ és $\tau$ permutációk közül legfeljebb 
az egyik mozgatja, akkor $\sigma$ és $\tau$ felcserélhetőek.
\item Ha $\sigma$ diszjunkt-ciklus felbontásában $m_1$, $m_2$, \dots, $m_r$ 
hosszú ciklusok szerepelnek, akkor $\sigma$ rendje $m_1$, $m_2$, \dots, $m_r$ 
legkisebb közös többszöröse.
\end{enumerate}
Ennek segítségével határozzuk meg, hogy hányadrendű elemek vannak 
$S_4$-ben és $S_5$-ben.

%\item Igaz-e? Ha $\sigma$ és $\tau$ felcserélhető permutációk, akkor az 
%alaphalmaz bármely elemét legfeljebb az egyik mozgatja.

\defi 
Legyen $\sigma$ előjele $\sg(\sigma)$, amely 1, ha $\sigma$ páros,
$-1$, ha páratlan permutáció.
Teljesül $\sg(\sigma\tau) = \sg(\sigma)\sg(\tau)$. 
(ld pl
{\tt 
http://www.cs.elte.hu/\~{}ewkiss/bboard/algebrabook/Abstract\_Algebra\_380.pdf},
\\
149.~oldal)

\item 
Mutassuk meg, hogy egy permutáció pontosan akkor páros, ha valamely
ciklusfelbontásában páros sok páros hosszúságú ciklus van.
A következő állítások igazolása segít.
\begin{enumerate}
\item Az $(a_1a_2\dots a_m)$ ciklust alkalmas elemmel konjugálva
megkapjuk az $(12\dots m)$ ciklust.
\item Egy ciklus pontosan akkor páros permutáció, ha hossza páratlan.
\end{enumerate}

\item
Milyen rendű elemek vannak $A_5$-ben? Mutassuk meg, hogy $A_4$-nek nincs
hat elemű részcsoportja.

\item\hf
Igazoljuk, hogy $D_3\cong S_3$.

\defi
Ha $G\leq S_n$ egy permutációcsoport, akkor 
$G(i):=\left\{\sigma(i)\,:\,\,\sigma\in G\right\}\subseteq\{1,2,\dots,n\}$ 
az \emph{$i$ pont orbitja}.
Azon $G$-beli elemek $G_i$ részcsoportja, amik $i$-t fixen hagyják 
az \emph{$i$ stabilizátora} 
(tehát $G_i=\left\{\sigma\in G\,:\,\,\sigma(i)=i\right\}$). 

\item
Mutassuk meg, hogy $\left|G(i)\right|=\left|G:G_i\right|$.

\item
Hány elemű azon csoport, amely a kockát önmagába képező egybevágósági 
transzformációkból áll?

\item\hf
Igazoljuk, hogy a szabályos tetraédert önmagába képező egybevágósági 
transzformációk csoportja izomorf $S_4$-gyel.

\end{enumerate}
\end{document}
