\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\mo}{{\bf Megoldás:\\}}
\newcommand{\moe}{{\bf Megoldás:}}
\newcommand{\moszam}[1]{{\bf #1. megoldás:\\}}

\begin{document}

\noindent {\bf 2.~(b) feladat}\\
Igazoljuk, hogy ha $G$ véges Ábel-csoport izomorf 
$C_{p_1^{\alpha_1}}\times\dots\times C_{p_m^{\alpha_m}}$ csoporttal 
($p_i$ prím), akkor 
$G$ részcsoportja csak olyan csoport lehet, amely olyan 
prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzata, amelyek rendjei 
megfelelő sorrendben osztói a $p_1^{\alpha_1},\dots,p_m^{\alpha_m}$ számoknak.

\noindent\moe\\
Egy $G$ csoport prímhatvány rendű ciklikus csoportok direkt szorzatára való
felbontását úgy kaphatjuk meg, hogy előbb a csoport rendjét osztó $p$ 
prímszámokhoz tartozó $p$-csoportok ($p$-hatvány rendű csoportok) direkt
szorzatára bontjuk:
\[
G=A_{p_1}\times A_{p_2}\times\dots\times A_{p_m},
\]
ahol $A_{p_i}$ pontosan $G$-nek azon elemeiből áll, amelyek $p_i$-hatvány
rendűek, $p_1,\dots,p_m$ különbözőek. Ezek után egy rögzített $p$-hez tartozó 
ciklikus csoportok $G$-ben az $A_p$-ből kaphatóak meg.

Legyen $H\leq G$. Ekkor $H=B_{p_1}\times B_{p_2}\times\dots\times B_{p_m}$,
ahol $B_p\leq A_p$. Ez a 8.~feladatsor, 7.(a) feladatából következik, 
miután az $A_p$ csoportok rendjei páronként relatív prímek. Elegendő 
tehát megmutatni az állítást $p$-csoportokra.

Tegyük fel, hogy
\begin{equation}\label{abel}
G=C_{p^{\alpha_1}}\times\dots\times C_{p^{\alpha_r}}
\end{equation}

Legyen 
\[
G_\gamma=\left\{g\in G\,\mid\,\,g^{p^\gamma}=e\right\}.
\]
a legfeljebb $p^\gamma$ rendű elemek részcsoportja $G$-ben.
Meghatározzuk $G_\gamma$ elemszámát.

A $C_{p^\alpha}$ csoportban $\gamma\leq\alpha$ esetén pontosan $p^\gamma$
olyan elem van, amely rendje legfeljebb $p^\gamma$. (Például így lehet 
ezt átgondolni: $\{e\}=G_0\lneq G_1\lneq\dots\lneq G_\alpha=G$ egy 
$\alpha+1$ hosszú részcsoportlánc, az elemszámokra ezért 
$1<\left|G_1\right|<\dots<\left|G_\alpha\right|=p^\alpha$, de minden
elemszám egyben $p$-hatvány.) Tehát 
\[
\left|\left(C_{p^{\alpha}}\right)_\gamma\right|=p^{\min\{\alpha,\gamma\}}.
\]

Ha most $G$ tetszőleges $p$-csoport a
fenti (\ref{abel}) előállítással, akkor egy $g=(g_1,\dots,g_r)$
elemének rendje a $g_i$ elemek rendjeinek legkisebb közös többszöröse, 
ami esetünkben éppen a maximumuk. Ezek szerint
\begin{equation}\label{gamma}
\left|G_\gamma\right|=
\prod_{i=1}^r\left|\left(C_{p^{\alpha_i}}\right)_\gamma\right|=
p^{\sum\limits_{i=1}^r\min\{\alpha_i,\gamma\}}.
\end{equation}
Nyilván ugyanígy igaz $\left|H_\gamma\right|=
p^{\sum_{i=1}^s\min\{\beta_i,\gamma\}}$, ha 
$H\cong C_{p^{\beta_1}}\times\dots\times C_{p^{\beta_s}}$.


Teljesül 
\begin{equation}\label{lemma}
\frac{\left|G_\gamma\right|}{\left|G_{\gamma-1}\right|}\ge
\frac{\left|H_\gamma\right|}{\left|H_{\gamma-1}\right|},
\end{equation}
%Tekintsük a következő, $G_{\gamma-1}/H_{\gamma-1}$-en értelmezett 
%leképezést: $[g]_{H_{\gamma-1}}\mapsto[g]_{H_{\gamma}}$. Könnyű látni,
%hogy ez $G_{\gamma-1}/H_{\gamma-1}$ beágyazása $G_\gamma/H_\gamma$-ba,
%ezért 
%$\left|G_{\gamma-1}/H_{\gamma-1}\right|\leq\left|G_\gamma/H_\gamma\right|$,
%amiből a fenti állítás következik. (Vagy egy másik bizonyítás:
ugyanis az izomorfiatételt használva:
\[
G_\gamma/G_{\gamma-1}\ge\left(G_{\gamma-1}H_\gamma\right)\big/G_{\gamma-1}\cong
H_\gamma\big/\left(H_\gamma\cap G_{\gamma-1}\right)=
H_\gamma/H_{\gamma-1}.
\]

Összevetve a most bizonyított állítást (\ref{gamma})-vel, kapjuk, hogy 
\begin{equation}\label{vege}
\sum_{i=1}^r\min\{\alpha_i,\gamma\}-\min\{\alpha_i,\gamma-1\}\geq
\sum_{i=1}^s\min\{\beta_i,\gamma\}-\min\{\beta_i,\gamma-1\}.
\end{equation}
Vegyük észre, hogy 
\[
\min\{\alpha_i,\gamma\}-\min\{\alpha_i,\gamma-1\}=\left\{
\begin{array}{ll}
0,&\text{ ha $\alpha_i<\gamma$}\\
1,&\text{ ha $\alpha_i\geq\gamma$}\\
\end{array}\right.,
\]
azaz (\ref{vege}) épp azt mondja, hogy tetszőleges $\gamma$ esetén 
az $\alpha_i$ számok között legalább annyi $\gamma$-nál nagyobb vagy egyenlő
van, mint amennyi a $\beta_i$ egészek között.

Ebből már egyszerű számolgatással adódik, hogy megfelelően sorbaállítva
a $\beta$ és $\alpha$ számokat $\alpha_i\geq\beta_i$.

\medskip
\medskip
\medskip

Hasonlóan lehet bizonyítani a homomorf képre vonatkozó állítást. 
%Először vezessük vissza a feladatot $p$-csoportok esetére, erre jó
%az 1.~feladat.
Csak (\ref{lemma}) bizonyításán kell változtatnunk:
Ha $H$ a $G$ homomorf képe, akkor egyszerű látni, hogy 
$H_\gamma/H_{\gamma-1}$ homomorf képe $G_\gamma/G_{\gamma-1}$ csoportnak.


\end{document}
