\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2004/2005 tavasz\\
10. gyakorlat: Centralizátor, normalizátor, Sylow-tételek
}
\end{center}

\noindent $H\subseteq G$ részhalmaz\\
\emph{normalizátora}
$N_G(H)=\left\{g\in G\,:\,\,gH=Hg\right\}$,\\
\emph{centralizátor}a 
$C_G(H)=\left\{g\in G\,:\,\,\forall\,h\in H\,gh=hg\right\}$,\\
\emph{centrum}a $C(G)=C_G(G)$.\\
$C_G(H)\le N_G(H)\le G$. Ha $H\le G$, akkor $H\unlhd N_G(H)$.\\
$a,b\in G$ \emph{konjugáltak}, ha van olyan $g\in G$, amelyre $g^{-1}ag=b$.
Ez ekvivalencireláció $G$-n, osztályai a \emph{konjugáltosztályok}.

\begin{enumerate}

\item 
Határozzuk meg az $S_n$, $D_n$ és $Q$ csoportok centrumát. 

\item 
Bizonyítsuk be, hogy $g$ konjugáltosztályának elemszáma 
$\left[G:C_G(g)\right]$, tehát osztója a csoport rendjének.

\item\hf
Legyen $G$ nem kommutatív egyszerű csoport (azaz nincs valódi normálosztója).
Lássuk be, hogy az egységelemen kívül minden más elem konjugáltosztályának
legalább 3 eleme van.

\item 
Igazoljuk, hogy ha $G/C(G)$ ciklikus, akkor $G$ Ábel-csoport.

\defi Cauchy-tétel: Ha $p$ prím osztója $\left|G\right|$-nak, akkor
van $G$-ben $p$-edrendű elem.

\item 
Mutassuk meg, hogy egy nem kommutatív hat elemű csoport izomorf 
$D_3$-mal és minden nyolcadrendű csoport izomorf a következő 
csoportok valamelyikével: $C_2\times C_2\times C_2$, $C_2\times C_4$, $C_8$,
$D_4$, $Q$.

\defi $P\le G$ egy $p$-Sylow részcsoportja $G$-nek, ha 
$\left|P\right|=p^\alpha$ és $p^{\alpha+1}\nmid\left|G\right|$. A $G$
$p$-Sylow részcsoportjainak halmaza $\Syl pG$.

\defi Sylow-tételek: $\left|\Syl pG\right|\equiv1\pod p$, ha 
$P_1,P_2\in\Syl pG$, akkor $\exists g\in G$, hogy $g^{-1}P_1g=P_2$.

\item\hf
Adjuk meg $S_6$ egy 2-Sylow részcsoportjának generátorelemeit. (Lássuk is be,
hogy ez 2-Sylow!)

\item
Bizonyítsuk be, hogy $P\in \Syl pG$ esetén 
$\left|\Syl pG\right|=\left[G:N_G(P)\right]$.

\item 
Hány 7-Sylow és hány 3-Sylow részcsoportja lehet egy 21-edrendű csoportnak?
Minden esetben adjuk meg azt is, hogy milyen rendű elemből hány van a 
csoportban.

\item\hf
Legyenek $p$ és $q$ páratlan prímek, amelyekre teljesül $\frac q2<p<q$. 
Igazoljuk, hogy minden $pq$ elemű csoport ciklikus.

\item
Bizonyítsuk be, hogy egy 105 elemű csoportnak vagy az 5-Sylowja, vagy a 
7-Sylowja normálosztó.

\end{enumerate}
\end{document}
