\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2004/2005 tavasz\\
11. gyakorlat: Gyűrűkkel kapcsolatos alapfogalmak
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Igazoljuk, hogy egy gyűrű pontosan akkor bal-egyszerűsítéses 
($ab=ac\Rightarrow a=0$ vagy $b=c$), ha nincs benne baloldali nullosztó 
($a\neq0$ baloldali nullosztó, ha van olyan $b\neq0$, amire $ab=0$).

\item
Mutassuk meg, hogy tetszőleges $m$ egészre $m\Z\unlhd\Z$ és 
$\Z/m\Z\cong\Z_m$, ahol $\Z_m$ a modulo $m$ maradékosztályok gyűrűje.

\item
Legyen $H\neq\emptyset$ az $R$ gyűrű egy nemüres részhalmaza.
Lássuk be, hogy a $H$ által generált jobbideál 
\[
\left<H\right>_{\text{jobb}}=\left\{\sum_i \left(n_ih_i+h_ir_i\right)
\,|\,\,n_i\in\Z, h_i\in H, r_i\in R\right\}.
\]
Írjuk fel hasonló módon a $H$ által generált ideál elemeit is.\\
Fontos speciális eset: ha $1\in R$ ($R$ egységelemes), akkor a
$h\in R$ által generált jobbideál $hR$. Ha $R$ ráadásul 
kommutatív is, akkor ezek szerint  $a\in\left<h\right>$
pontosan akkor, ha $a$ osztható $h$-val.

\item
Egy gyűrű egyszerű, ha nincs valódi ideálja. Mutassuk meg, hogy
egy kommutatív gyűrű pontosan akkor egyszerű, ha test, vagy prím rendű
zérógyűrű.\\
(Útmutatás: Ha $R$ egyszerű és nem zérógyűrű, akkor mutassuk meg, 
hogy $R$ nullosztómentes.)

\item
Mondjuk ki, és bizonyítsuk be a gyűrűkre vonatkozó homomorfia és 
izomorfizmus tételeket.

\item\hf
Tegyük fel, hogy $R$ kommutatív gyűrű, $R^2=R$. Bizonyítsuk be, hogy 
$I\unlhd R$ ideál pontosan akkor maximális, ha $R/I$ test.

\item(\emph{Kínai maradéktétel})
Legyen $m_1,m_2,\dots,m_r$ páronként relatív prímek és 
$m=m_1\cdot m_2\cdot\dots\cdot m_r$. Igazoljuk, hogy 
\[
\Z_m \cong \Z_{m_1} \times \Z_{m_2} \times\dots\times \Z_{m_r}.
\]

\item
Legyen $K$ test és jelölje $K[x,y]$ a $K$-együtthatós két változós 
polinomok halmazát. $K[x,y]$ nullosztómentes, egységelemes kommutatív 
gyűrű a polinomok szokásos összeadására és szorzására nézve.\\
Adjuk meg $K[x,y]$ azon $I$ ideáljának elemeit, amelyet $x^2$ és $y$ generál.
Adjuk meg a $K[x,y]/I$ faktorgyűrű elemeinek egy reprezentáns rendszerét
és ennek segítségével határozzuk meg a faktorgyűrű összes ideálját.

\item\hf
(\emph{Kínai maradéktétel polinomokra})
Legyen $f_1(x),f_2(x),\dots,f_r(x)\in K[x]$ páronként relatív prím polinomok,
$f(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot\dots\cdot f_r(x)$, $I_j=\left<f_j(x)\right>$ az
$f_j$ által generált ideál, $I=\left<f(x)\right>$.
Igazoljuk, hogy 
\[
K[x]/I \cong K[x]/I_1 \times K[x]/I_2 \times\dots\times K[x]/I_r.
\]

\defi
Jelölje $K[[x]]$ a $K$ együtthatós formális hatványsorok gyűrűjét,
azaz $K[[x]]$ tetszőleges $\ve k$ eleme
\[
\ve k=\sum_{i=0}^\infty k_ix^i
\]
alakú, ahol $k_i\in K$. Az összeadás tagonként történik:
\[
\ve k+\ve{k'}=\sum_{i=0}^\infty (k_i+k_i')x^i,
\]
a szorzás hatványsorok formális szorzása: $\ve k\cdot\ve{k'}$-ben
$x^n$ együtthatója $k_0k_n'+k_1k_{n-1}'+\dots+k_nk_0'$.
$K[[x]]$ nullosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrű. 

\item\hf
Igazoljuk, hogy $1-x$ invertálható $K[[x]]$-ben, de $x$ nem.

\item
Mit mondhatunk azon $R$ gyűrűről, amelyre igaz, hogy tetszőleges 
$r\in R$ esetén a $\{0,r\}$ halmaz ideálja?


\end{enumerate}



\end{document}
