\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}
\newcommand{\bigtimes}{\mathop{\mathsf{X}}\limits}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2004/2005 tavasz\\
12. gyakorlat: Kiválasztási axióma, Zorn-lemma
}
\end{center}

Legyen $\Lambda$ tetszőleges halmaz (indexhalmaz)
és minden $i\in\Lambda$ esetén $A_i$ egy halmaz. Az $A_i$ halmazok dirket 
szorzata
\[
\bigtimes_{i\in\Lambda}A_i:=\left\{f\colon\Lambda\to\bigcup_{i\in\Lambda}A_i\,
\mid\,\,f(i)\in A_i\right\},
\]
elemei a \emph{kiválasztási függvény}ek.

{\bf Kiválasztási axióma}: Ha egyik $A_i$ sem az üreshalmaz, akkor 
$\bigtimes_{i\in\Lambda}A_i\neq\emptyset$.

\medskip

{\bf Zorn-lemma}: Legyen $\cal A\neq\emptyset$ halmaz, rajta $\leq$ egy 
részbenrendezési reláció. Ha teljesül, hogy minden 
$a_1,a_2,\dots\in {\cal A}$, $a_1\leq a_2\leq\dots$ \emph{lánc} esetén van 
olyan $a\in {\cal A}$, amely minden $i$-re $a_i\leq a$ (minden láncnak van 
felső korlátja), akkor van $\cal A$-ban maximális elem.

\begin{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be, hogy az alábbi állítás következik a Zorn-lemmából:\\
({\bf Kuratowski-lemma}) Tetszőleges $({\cal A},\leq)$ részbenrendezett 
halmaznak van maximális rendezett részhalmaza.\\
Igaz az is, hogy a Kuratowski-lemmából következik a Zorn-lemma, érdemes a
bizonyításon egy kicsit gondolkodni.


\item\hf Bizonyítsuk be, hogy az alábbi állítás ekvivalens a Zorn-lemmával:\\
({\bf Teichmüller--Tukey-lemma}) Legyen $A$ halmaz, $\Phi$ az
$A$ véges részhalmazain értelmezett tulajdonság, 
$B\subseteq A$, amely minden véges részhalmaza $\Phi$ tulajdonságú.
Ekkor van $A$-nak maximális olyan $M$ részhalmaza, amely tartalmazza $B$-t és
minden véges részhalmaza $\Phi$ tulajdonságú.\\
(Az előző feladat nem bizonyított részét is felhasználhatjuk.)

\item
Igazoljuk, hogy a Zorn-lemmából következik a kiválasztási axióma. 
(A fordított irány is igaz, de az nehezebb.)\\
(Útmutatás: Definiáljuk a következő $\cal A$ részbenrendezett halmazt: 
minden $\Lambda'\subseteq\Lambda$-ra és $f\in\bigtimes_{i\in\Lambda'}A_i$-re
legyen az $\left(f,\bigtimes_{i\in\Lambda'}A_i\right)$ pár az $\cal A$ eleme. 
A rendezés: $\left(f_1,\bigtimes_{i\in\Lambda_1}A_i\right)\leq
\left(f_2,\bigtimes_{i\in\Lambda_2}A_i\right)$, ha 
$\Lambda_1\subseteq\Lambda_2$ és $f_2$ az $f_1$ kiterjesztése $\Lambda_2$-re.)

\defi A továbbiakban feltételezzük, hogy igaz a kiválasztási axióma.

\item\hf
Legyen $({\cal A},\leq)$ részbenrendezett halmaz, és 
${\cal B}\subseteq{\cal A}$. Azt mondjuk, hogy $\cal B$ független
részhalmaz, ha semelyik két eleme nem összehasonlítható. Mutassuk meg, hogy
minden részbenrendezett halmaznak van maximális független részhalmaza.

%\item
%Igazoljuk, hogy egy tetszőleges algebrai struktúra minden valódi 
%részstruktúrája benne van egy maximális részstruktúrában.
%Ez igy nem igaz

\item\hf
Egy algebrai struktúra $\rho$ kongruenciája maximális,
ha $\rho$ nem a $\iota$ univerzális reláció és amennyiben egy $\eta$ 
kongruenciára $\rho\subseteq\eta\subsetneq\iota$, akkor biztosan $\rho=\eta$.\\
Tegyük fel, hogy $A$ algebra olyan, hogy valamely $a,b\in A$ elemekre ha
$\rho$ az $A$ kongruenciája és $(a,b)\in\rho$, akkor $\rho=\iota$.
(Például tetszőleges egységelemes gyűrűben $0$, $1$ ilyen elemek.)
Lássuk be, hogy $A$ minden valódi kongruenciája része $A$ egy maximális 
kongruenciájának.

\item
Mutassuk meg, hogy tetszőleges vektortérben létezik bázis. 
(Bázis egy lineárisan független generátorrendszer.)


\end{enumerate}
\end{document}
