\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1., pót-gyakIV\\}
{\bf 2005 június 06.}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Legyen $A$ unér algebra (azaz minden művelte egyváltozós) és $B$ egy 
rész\-algebrája. Definiáljuk a $\rho$ relációt a következőképpen: 
\[
(a,b)\in \rho\iff a=b\text{ vagy }a,b\in B.
\]
Mutassuk meg, hogy $\rho$ kongruencia. 

\item
Igazoljuk, hogy egy csoport prím indexű részcsoportja biztosan maximális
részcsoport.

\item
Legyen $G$ csoport, $H\leq G$ és $N\unlhd G$. Bizonyítsuk be, hogy 
$[N:H\cap N]=[NH:H]$.

\item
Legyen $N$ az $A_4$ alternáló csoport legfeljebb másodrendű elemeiből
álló normálosztó. Milyen csoporttal izomorf $A_4/N$? 
(Azt nem kell megmutatni, hogy $N$ valóban normálosztó.)

\item
Soroljuk fel az összes páronként nem izomorf 80 elemű kommutatív csoportot. 
Melyiknek van a legtöbb 10-edrendű eleme?

\item
Hány 2-Sylowja és 5-Sylowja lehet egy 10 elemű csoportnak? (Mutassunk is 
példákat csoportokra, hogy a kiszámolt értékek valóban előfordulhatnak.)

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha egy gyűrűnek minden eleme idempotens ($a^2=a$), 
akkor a gyűrű kommutatív.

\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.
A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.\\
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!\\
Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-70: 5.
}
\end{document}
