\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1., pót-gyakIV\\}
{\bf 2005 június 20.}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Tegyük fel, hogy $\rho$ és $\eta$ relációkra $\rho\circ\eta=\rho$
és $\eta\circ\rho=\eta$. Lássuk be, hogy $\rho$ tranzitív.

\item
Legyen $G$ véges csoport és $H\leq K\leq G$ részcsoportok. Bizonyítsuk be,
hogy $[G:K]\cdot[K:H]=[G:H]$.

\item
Mutassuk meg, hogy $C(G_1\times G_2)=C(G_1)\times C(G_2)$.

\item
Legyen $N$ az $A_4$ alternáló csoport legfeljebb másodrendű elemeiből
álló normálosztó. Milyen csoporttal izomorf $A_4/N$? 
(Azt nem kell megmutatni, hogy $N$ valóban normálosztó.)

\item
Soroljuk fel az összes páronként nem izomorf 80 elemű Ábel-csoportot. 

\item
Hány 2-Sylowja és 5-Sylowja lehet egy 10 elemű csoportnak?\\
(Elegendő annyit megmutatni, hogy összesen két lehetőség van a
Sylowok számára. Konkrét példáért +5 pont jár.)

\item
Legyen $I\unlhd\C$ a komplex számok gyűrűjének egy ideálja.
Mutassuk meg, hogy $I=\{0\}$, vagy $I=\C$.

\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.
A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.\\
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!\\
Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-70: 5.
}
\end{document}
