\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1., első PZH\\}
{\bf 2005 április 20}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Igazoljuk, hogy amennyiben $\rho$ és $\eta$ relációkra 
$\eta\circ\rho=\rho\circ\eta=\omega$
teljesül, akkor $\eta=\rho^{-1}$.

\item
Legyen $A$ és $B$ azonos típusú algebrai struktúra, $\varphi\colon A\to B$
homomorfizmus. Tegyük fel, hogy $B$-nek nincs valódi részstruktúrája
(tehát egyetlen részstruktúrája önmaga). Bizonyítsuk be, hogy $\varphi$
szürjektív.

\item
Legyen $S$ félcsoport és $n$ egy $S$-en kívüli elem. Definiáljunk a 
$T:=S\cup\{n\}$ halmazon egy szorzást, amely $S$ elemein az eredeti 
szorzással egyezik meg, és $n\cdot x=x\cdot n=n$ minden $x\in T$-re. 
Bizonyítsuk be, hogy $T$ félcsoport.

\item
Legyen $H$ és $K$ a $G$ csoport két részcsoportja. Igazoljuk, hogy 
$HK$ akkor és csak akkor részcsoport, ha $HK=KH$.

\item
Igazoljuk, hogy egy $G$ ciklikus csoportban nincs
\[
H_1\lneq H_2\lneq H_3\lneq\dots
\]
részcsoportokból álló végtelen hosszú lánc.

\item
Milyen ismert csoporttal izomorf a $D_{16}/\left<f^4,t\right>$ faktorcsoport?

\item
Legyen $T$ négyzet alapú téglatest, amely nem kocka, $G$ pedig a tér
azon egybevágósági transzformációinak csoportja, amelyek $T$ téglatestet
önmagába viszik. Hány elemű $G$?

\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.
A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér, 60 pont számít 100\%-nak.\\
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!%\\
%Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-60: 5.
}
\end{document}
