<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1., második ZH\\}
{\bf 2005 május 19.}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be, hogy a $G\times G$ direkt szorzat $D=\{(g,g)\,|\,\,g\in G\}$
diagonális részcsoportja pontosan akkor normálosztó, ha $G$ Ábel-csoport.

\item
Hány olyan 300 elemű Ábel-csoport van, amiben van olyan elem, aminek a rendje 
50?

\item
Mutassunk olyan 8 elemű $G$ Ábel-csoportot és $H_1\leq G$, $H_2\leq G$ 
részcsoportokat, amelyekre $H_1\cong H_2$, de 
$G/H_1\not\cong G/H_2$.

\item
Határozzuk meg $n&gt;1$-re $A_n$ csoport centrumát!

\item
Hány nem izomorf 153 elemű csoport van?

\item
\begin{enumerate}
\item 
Mutassuk meg, hogy $R$ gyűrű pontosan akkor egyszerűsítéses, ha
$R\setminus\{0\}$ halmaz a gyűrűbeli szorzással félcsoport.
\item
Igazoljuk, hogy egy kommutatív egységelemes gyűrűben $r$ pontosan akkor 
invertálható, ha $rR=R$.
\end{enumerate}

\item
A kiválasztási axióma feltevése mellett igazoljuk, hogy tetszőleges 
$G$ csoportnak van maximális $H$ kommutatív részcsoportja (tehát $H$ 
Ábel-csoport, de bármilyen új elemet hozzávéve már nem marad az).




\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.
A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér, 60 pont számít 100\%-nak.\\
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!%\\
%Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-60: 5.
}
\end{document}
</pre></body></html>