\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2009/2010 tavasz\\
1. gyakorlat: Félcsoportok
}
\end{center}

\begin{enumerate}


\item 
Mutassunk kommutatív és nem-kommutatív félcsoportokat, 
amelyekben minden elem idempotens.
%egy halmaz részhalmazai, metszet vagy unioval.
%balzéro félcsoport

\item
Igazoljuk, hogy ha egy egységelemes félcsoportban ha $ab$ és $ba$ 
invertálható, akkor $a$ és $b$ is invertálható.

\item
Álljon $S$ az $\{1,2,3\}$ halmaz önmagába menő leképezéseiből. Két $S$-beli
elem között legyen a művelet a leképezések egymás után elvégzése.
Határozzuk meg $S$ egységelemét, invertálható elemeit. Hány eleme van $S$-nek
és ezek közül hány idempotens?

\item 
Melyek alkotnak mindenképpen részfélcsoportot egy félcsoportban:
\begin{enumerate}
\item egységelemek;
\item jobboldali egységelemek;
\item invertálható elemek (egy egységelemes félcsoportban);
\item nem invertálható elemek (egy egységelemes félcsoportban);
\item idempotens elemek?
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg az összes páronként nem izomorf kételemű félcsoportot.

\item
Legyen $S$ \emph{bal-egyszerűsítéses félcsoport}, azaz $a,b,c\in S$ és 
$ab=ac$ esetén $b=c$. Igazoljuk, hogy ha van $S$-ben idempotens elem, 
akkor van baloldali egységelem is.

\item
Mutassuk meg, hogy minden véges félcsoportban van idempotens elem.

\item \hf
Bizonyítsuk be, hogy véges egyszerűsítéses (tehát bal- és 
jobb-egyszerűsí\-té\-ses is) félcsoport csoport.

\item
Igazoljuk, hogy ha egy véges egységelemes félcsoportban $a$-nak van 
baloldali inverze, akkor van kétoldali inverze is.

\item\hf
Mutassuk meg, hogy egy $S$ egységelemes félcsoportban egy $a$ elem akkor és
csak akkor invertálható, ha van olyan $x\in S$, amelyre $axa=e$ 
($e$ az egységelem).

\end{enumerate}
\end{document}
