\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2009/2010 tavasz\\
2. gyakorlat: Homomorfizmusok, kongruencia relációk}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Igazoljuk, hogy homomorfizmusok kompozíciója homomorfizmus.

\item
Igazoljuk, hogy szürjektív leképezések kompozíciója szürjektív,
injektíveké injektív, bijektíveké bijektív.

\defi 
$\iota=A\times A$ az $A$ halmaz \emph{univerzális reláció}ja, 
és $\omega=\left\{(a,a)\in A\times A\,:\,\,a\in A\right\}$ az $A$ \emph{identikus reláció}ja.

\item 
Lássuk be, hogy egy $\rho$ reláció akkor és csak akkor 
\begin{enumerate}
\item reflexív, ha $\omega\subseteq\rho$;
\item szimmetrikus, ha $\rho^{-1}\subseteq\rho$ (és ez ekvivalens azzal, hogy $\rho=\rho^{-1}$);
\item antiszimmetrikus, ha $\rho^{-1}\cap\rho=\omega$;
\item tranzitív, ha $\rho\circ\rho\subseteq\rho$.
\end{enumerate}

\item 
Lássuk be, hogy az egészek modulo $m$ kongruenciája
a $(\Z;\cdot,+,-,1,0)$ gyűrűnek kongruencia relációja.

\item 
Tekintsük a $(\Z,\cdot)$ algebrai struktúra következő 
$\rho$ relációját: $(a,b)\in\rho\iff$ $a$ és $b$ 
prímtényezős felbontásában az 5 azonos hatványon szerepel.
Kongruencia reláció-e $\rho$? És ha 5 helyett 6-tal definiálnánk?

\item \hf
Legyen $V$ vektortér, $W$ egy altere és 
$\rho=\{(\ve v,\ve u)\in V^2\,:\,\,\ve v+W=\ve u+W\}$, tehát $\rho$ 
az azonos $W$ szerinti eltoltban levő vektorok között áll fent. 
Bizonyítsuk be, hogy $\rho$ a vektortér kongruenciája.

\defi
Egy algebrai struktúra \emph{egyszerű}, ha $\iota$-n és $\omega$-n kívül 
nincs más kongruenciája.

\item \hf
Legyen $f$ homomorfizmus, ekkor $\Ker f$ jelöli azt a relációt,
amelyre $(a,b)\in\Ker f\iff f(a)=f(b)$. 
\begin{enumerate}
\item Mutassuk meg, hogy $\Ker f$ kongruencia, és $f$ pontosan akkor 
injektív, ha $\Ker f=\omega$.
\item Bizonyítsuk be, hogy egyszerű algebrának minden önmagába menő nem 
konstans leképezése injektív.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
