\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2009/2010 tavasz\\
5. gyakorlat: Homomorfizmusok, normálosztók
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Legyen $G$ csoport, $H\leq G$ részcsoport. Melyek igazak az alábbi állítások 
közül?
\begin{enumerate}
\item Mindig van olyan homomorfizmus $G$-ről, amely magja $H$.
\item Mindig van olyan homomorfizmus $G$-be, amely képe $H$.
\item Tetszőleges $\varphi\colon G\to G'$ homomorfizmus esetén $\varphi(H)$
részcsoportja $G'$-nek.
\item Ha $H$ normálosztó $G$-ben, akkor $\varphi(H)$ normálosztó $G'$-ben.
\item Ha $H$ normálosztó $G$-ben, akkor $\varphi(H)$ normálosztó 
$\varphi(G)$-ben.
\item Ha $H\unlhd G$, akkor van olyan $G'$ csoport és 
$\varphi\colon G\to G'$ homomorfizmus, amely magja $H$.
\item Tetszőleges $\varphi\colon G\to G'$ homomorfizmusra ha $n$ osztója
$\left|G\right|$-nak, akkor $n$ osztója $\left|\varphi(G)\right|$-nak (véges csoportok esetén).
\item Tetszőleges $\varphi\colon G\to G'$ homomorfizmusra ha $n$ osztója
$\left|\varphi(G)\right|$-nak, akkor $n$ osztója $\left|G\right|$-nak (véges csoportok esetén).
\end{enumerate}

\item
Tegyük fel, hogy $H\leq G$, $M,N\unlhd G$. Bizonyítsuk be, hogy
$H\cap N\unlhd H$, $HN\leq G$ és $NM\unlhd G$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha $N\unlhd G$, $H\leq G$, $H\cap N=\left\{e\right\}$ és
$HN=G$, akkor $G/N\cong H$.

\item
Igazoljuk, hogy ha $M,N\unlhd G$, $M\leq N$, akkor $G/N$ homomorf képe
$G/M$-nek.

\item
Mutassuk meg, hogy $N\unlhd G$, $N\leq H\leq G$ esetén $H\unlhd G$ 
és $H/N\unlhd G/N$ ekvivalens.

\item \hf
Legyen $N\unlhd G$ és $H_1\unlhd H_2\leq G$. Bizonyítsuk be, hogy
\begin{enumerate}
\item $(H_2\cap N)/(H_1\cap N)$ normálosztóként beágyazható $H_2/H_1$-be;
\item $H_2N/H_1N$ homomorf képe $H_2/H_1$-nek.
\end{enumerate}

\defi
Legyen $D_4$ a szabályos négyszöget önmagába képező síktranszformációk 
csoportja (\emph{negyedfokú diédercsoport}).

\defi
Legyen $Q$ a \emph{kvaterniócsoport}, azaz 
$Q=\left\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\right\}$, a műveleteket pedig a következő 
relációk adják meg: 1 az egységelem, $(-1)^2=1$, $(-1)\ell=\ell(-1)=-\ell$, 
$\ell^2=-1$, ahol $\ell$ az $i,j,k$ bármelyike lehet, végül $ij=-ji=k$, 
$jk=-kj=i$ és $ki=-ik=j$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy $Q$-nak nincs $C_4$-gyel izomorf faktorcsoportja.

\item
Adjunk példát $M\unlhd N\unlhd G$ csoportokra, amelyekre $M\not\unlhd G$ 
(azaz $\unlhd$ nem tranzitív).

\item\hf
Legyen $G$ a két elemű test ($\Z_2$) feletti invertálható $3\times3$-as felső
háromszögmátrixok csoportja. Melyikkel lehet $G$ izomorf $Q$ és $D_4$ közül?
(Elegendő, ha valamelyikre megmutatjuk, hogy nem izomorf vele $G$.)

\item \hf
Legyen $p$ prímszám és 
\[
\Z_{p^\infty}=\left\{\frac q{p^n}\in\Q\,\mid\,\,n\in\N,q\in\Z\right\}\Big/\Z
\]
faktorcsoport \emph{kváziciklikus csoport} (az összeadásra nézve).
\begin{enumerate}
\item Lássuk be, hogy a definíció értelmes (amit faktorizálunk csoport a 
$+$-ra, benne $\Z$ normálosztó).
\item Adjuk meg tetszőleges $m$ pozitív egészre a $\Z_{p^m}^+$ csoport egy 
 $\varphi$ beágyazását $\Z_{p^\infty}$-be.
\item Mutassuk meg, hogy az előbbi $\varphi$-re
\[
\Z_{p^\infty}\big/\varphi\left(\Z_{p^m}\right) \cong \Z_{p^\infty}
\]
\item (+10 pontért) Igazoljuk, hogy $\Z_{p^\infty}$ minden valódi 
részcsoportja véges. Mutassuk meg, hogy emiatt $\Z_{p^m}$ nem lehet 
$\Z_{p^\infty}$ homomorf képe.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
