\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1. 2009/2010 tavasz\\
7. gyakorlat: Csoportok direkt szorzata
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Legyen $g_1,g_2\in G$, amelyekre $g_1g_2=g_2g_1$ és rendjük relatív prím.
Igazoljuk, hogy 
$\left<g_1,g_2\right>\cong\left<g_1\right>\times\left<g_2\right>$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy a 3 elemű test feletti $2\times2$-es invertálható felső 
háromszögmátrixok multiplikatív csoportjában van hat elemű részcsoport.

\item\hf
Igazoljuk, hogy ha $C_k$ a $k$ elemű ciklikus csoport, akkor
$C_m\times C_n$ pontosan akkor ciklikus, ha $(m,n)=1$.

\item
Legyen $G_1$ és $G_2$ csoport, $G=G_1\times G_2$, $G_1'=G_1\times\{e_{G_2}\}$,
$G_2'=\{e_{G_1}\}\times G_2$.
\begin{enumerate}
\item 
Bizonyítsuk be, hogy $G_1'\unlhd G$, $G_2'\unlhd G$ és $G_1'\cap G_2'=\{e\}$
\item
Igazoljuk, hogy $G/G_1'\cong G_2$ és $G/G_2'\cong G_1$.
\end{enumerate}

\item \hf
Legyen $N,M\unlhd G$, $N\cap M=\{e\}$, és $G/N\cong M$. Igazoljuk, hogy 
ekkor $G\cong N\times M$ és $G/M\cong N$.

\item
A $G=G_1\times G_2$ direkt szorzat egy $H\leq G$ részcsoportjára legyen
\[
H_1=\left\{g_1\in G_1\,:\,\,\exists g_2\in G_2\,(g_1,g_2)\in H\right\}
\text{ és}
\]
\[
H_2=\left\{g_2\in G_2\,:\,\,\exists g_1\in G_1\,(g_1,g_2)\in H\right\}.
\]
Lássuk be, hogy $H_i\leq G_i$ és $H\leq H_1\times H_2\leq G$.

\item
\begin{enumerate}
\item 
Mutassuk meg, hogy amennyiben $G_1$ és $G_2$ rendje relatív prím, 
$H\leq G=G_1\times G_2$, akkor valamely $K_1\leq G_1$ és $K_2\leq G_2$
csoportokra $H=K_1\times K_2$.
\item
Adjuk meg $C_4\times C_6$ és $C_2\times C_\infty$ csoportok egy-egy 
részcsoportját, amelyek nem állnak elő a komponensek részcsoportjainak 
direkt szorzataként.
\end{enumerate}

\item
Legyen $\varphi$ a $G_1\times G_2$ csoport egy homomorfizmusa és
$\varphi_{G_1}$ az a leképezés, amely $g_1\in G_1$-hez 
$\varphi\left((g_1,e_{G_2})\right)$ elemet rendeli. Értelmezzük 
$\varphi_{G_2}$ homomorfizmust analóg módon. Mutassuk meg, hogy 
amennyiben $G_1$ és $G_2$ rendje relatív prím, akkor
$\varphi(G_1\times G_2)\cong \varphi_{G_1}(G_1)\times\varphi_{G_2}(G_2)$.

\end{enumerate}
\end{document}
