\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1., első ZH\\}
{\bf 2010 március 31.}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Adjuk meg az összes páronként nem izomorf három elemű egyszerűsítéses félcsoportot.

\item
Legyen $G$ csoport és definiáljuk ezen a $\rho$ relációt úgy, hogy
\[
a\rho b\,\,\,\iff\,\,\,\text{létezik $g\in G$, amelyre $ag=gb$.}
\]
\begin{enumerate}
\item Igazoljuk, hogy $\rho$ ekvivalenciareláció.
\item Adjunk példát $G=S_3$ esetén, amely mutatja, hogy $\rho$ nem kongruenciareláció.
\end{enumerate}

\item
Mutassuk meg, hogy egy $k$ elemű ciklikus csoport pontosan akkor ágyazható be egy $n$ elemű ciklikus csoportba, ha $k\mid n$.

\item
Legyen $G$ csoport, $H$ egy részcsoportja. Bizonyítsuk be, hogy
\begin{enumerate}
\item ha van olyan $g\in G$, amelyre $g\not\in H$, akkor $\left|H\right|\le\frac{\left|G\right|}2$;
\item ha van olyan $g_1,g_2\in G$, amelyre $g_1\not\in H$, $g_2\not\in H$, továbbá $g_1^{-1}\cdot g_2\not\in H$, akkor $\left|H\right|\le\frac{\left|G\right|}3$.
\end{enumerate}

\item
Normálosztó-e a $D_{10}$ csoportban a $t$ és $f^8$ elemek által generált részcsoport?\\
(Emlékeztetőül: $D_{10}$ a tizedfokú diédercsoport, tehát 
\[
D_{10}=\{e,f,f^2,\dots,f^9,t,tf,tf^2,\dots,tf^9\}
\]
és $f^{10}=e$, $t^2=e$, $ft=tf^9$.)

\item[+1.]
Mutassuk meg, hogy egy $k$ elemű ciklikus csoport pontosan akkor egy $n$ elemű ciklikus csoport homomorf képe, ha $k\mid n$.


\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 90 perc.
A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér, 50 pont számít 100\%-nak.\\
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!%\\
%Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-60: 5.
}
\end{document}
