\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 1., második ZH\\}
{\bf 2010 május 12.}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be, hogy a $G\times G$ direkt szorzat $D=\{(g,g)\,|\,\,g\in G\}$
diagonális részcsoportja pontosan akkor normálosztó, ha $G$ Ábel-csoport.

\item
Igazoljuk, hogy tetszőleges 90 elemű Ábel-csoport generálható legfeljebb két elemmel.

\item
Álljon $G$ az $F$ test feletti $3\times3$-as olyan felső háromszögmátrixokból,
amelyek főátlójában csupa 1 áll. Mi $G$ centruma?

\item
Határozzuk meg az $A_4$ csoport Sylow-részcsoportjainak számát minden szóba jövő prímszámra.
(Emlékeztető: $A_4\le S_4$ az alternáló csoport, az $S_4$-beli összes páros permutációból áll.)

\item
Keressük meg az egész számok gyűrűjében az összes olyan $z\in\Z$ elemet, amelyre a $z$ által generált ideál 
a teljes $\Z$.

\item[+1.]
Hány Sylow-részcsoportja lehet egy 12 elemű csoportnak? (Adjunk példákat is megfelelő csoportokra!)

\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 90 perc.
A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér, 50 pont számít 100\%-nak.\\
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!%\\
%Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-60: 5.
}
\end{document}
