\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
1. gyakorlat: Integritási tartományok, oszthatóság
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item\hf
Legyen $\xi\in\C\setminus\Z$ egy $f(x)$ másodfokú, egész együtthatós, 
1 főegyütthatójú polinom egyik gyöke és
$\Z[\xi]:=\{a+b\xi\in\C\,:\,\,a,b\in\Z\}$. 
(Ha $\xi=i$, akkor épp a számelméletből jól ismert Gauss-egészeket kapjuk.)
Mutassuk meg, hogy 
\begin{enumerate}
\item $\Z[\xi]$ a $\C$ részgyűrűje;
\item $\Z[\xi]$ elemeinek $a+b\xi$ ($a,b\in\Z)$ alakban való 
előállítása egyértelmű;
\item $\Z[\xi]=\Z[\xi']$, ahol  $\xi'$ az $f(x)$ másik gyöke;
\item minden $u,v\in\Z[\xi]$-re $N(u)\in\Z$ és $N(uv)=N(u)N(v)$, ahol 
$N(a+b\xi)=(a+b\xi)(a+b\xi')$ (természetes norma).
\end{enumerate}

\defi \emph{Integritási tartomány} = kommutatív, nullosztómentes gyűrű.

\item (\emph{Integritási tartomány karakterisztikája})
Legyen $R$ integritási tartomány $a\in R\setminus\{0\}$, $n\in\Z$. 
Mutassuk meg, hogy 
ha teljesül $na=0$, akkor minden $b\in R$-re $nb=0$,
azaz ha van olyan elem, aminek additív rendje véges, akkor
minden elem rendje megegyezik. Ez az érték $R$ \emph{karakterisztikája}.
Bizonyítsuk be, hogy $R$ karakterisztikája prímszám.

\item 
Igazoljuk, hogy minden véges integritási tartomány test.

\item\hf
Lássuk be, hogy amennyiben egy $R$ egységelemes 
integritási tartomány Artin-gyűrű, akkor test. 
(Útmutatás: alkalmazzuk az Artin-feltételt $a\in R$ esetén
az $(a)\supseteq(a^2)\supseteq(a^3)\supseteq\dots$ ideálláncra.)\\
(Az állítás igaz marad, ha elhagyjuk az egységelemes feltételt, ez
egy kicsit trükkösebb.)

\defi $R$ integritási tartomány hányadosteste:
\[
\frac RR=\left\{\frac ab: a,b\in R, b\neq0\right\}\Big/ \sim,
\]
ahol $\sim$ a törtek egyszerűsítését jelentő kongruenciareláció, azaz
$\frac ab\sim\frac{a'}{b'}\iff ab'=a'b$. A műveletek a szokásos módon
értelmezhetőek $\frac RR$ gyűrűn, amiről könnyű látni, hogy test
és $R$ természetes módon ($r\mapsto \frac {ra}{a}$) beleágyazható.

\item 
Adjuk meg $\Z$, $\Q$, $\Z[i]$ hányadostestét.

\item
Igazoljuk, hogy ha $R$ integritási tartomány, $K$ test, $\varphi\colon R\to K$
gyűrű-homomorfizmus, akkor $\exists!\hat\varphi\colon\frac RR\to K$, ami 
$\varphi$ kiterjesztése.

\item
Bizonyítsuk az oszthatóság következő tulajdonságait
egységelemes integritási tartományra:
\begin{enumerate}
\item reflexív, tranzitív;
\item ha $a\mid b$ és $c\mid d$, akkor $ac\mid bd$;
\item ha $a\mid b$ és $a\mid c$, akkor $a\mid b+c$, $a\mid b-c$;
\item ha $c\neq0$, akkor $ac\mid bc \iff a\mid b$.
\end{enumerate}

\item
Legyen $R$ integritási tartományban $U$ azon elemek halmaza, amelyekkel 
$R$ minden eleme osztható. Lássuk be, hogy $U\neq\emptyset$ esetén 
$R$ egységelemes, $U$ éppen az 1 osztóiból áll és $U$ a szorzásra
csoport.

\defi
$R$ egységelemes integritási tartományban $1$ osztói az \emph{egységek}.
$a,b\in R$ \emph{asszociáltak}, ha $a\mid b$ és $b\mid a$.

\item\hf
Mutassuk meg, hogy egy egységelemes integritási tartományban
$a\mid b \iff (b)\subseteq(a)$, továbbá
$a$ és $b$ asszociált $\iff$ $a=b\cdot\varepsilon$ valamely $\varepsilon$ 
egységre $\iff$ $(a)=(b)$.

\item
Határozzuk meg $\Z$, $\Z[i]$, $K[x]$, $K[[x]]$ gyűrűk egységeit ($K$ test).

\defi Egy egységelemes integritási tartomány \emph{főidálgyűrű}, ha minden 
ideálja egy elemmel generálható.

\item
Igazoljuk, hogy egy $R$ főideálgyűrűben tetszőleges (véges vagy végtelen)
$H\subseteq R$ halmaznak létezik $d$ legnagyobb közös osztója és $(d)=(H)$.

\item\hf
Legyen $R$ főideálgyűrű. Lehet-e az $R[x,y]$ gyűrű $I=(x^2,xy,y^2)$ 
ideálja főideál?

\end{enumerate}



\end{document}
