\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
2. gyakorlat: Maximális ideálok, prímideálok, primér ideálok
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Legyen $R$ egységelemes kommutatív gyűrű és $I,J\lhd R$ relatív prím ideálok
(azaz $I+J=R$). Igazoljuk, hogy $IJ=I\cap J$. 
Mutassuk meg, hogy amennyiben $I_j\lhd R$ páronként relatív prím ideálok, 
akkor $\prod\limits_{j=1}^k I_j=\bigcap\limits_{j=1}^k I_j$.

\item\hf
(\emph{Kínai maradéktétel}) Tegyük fel, hogy $R$ kommutatív egységelemes 
gyűrűben $I_j\lhd R$ ($j=1,\dots,k$) páronként relatív prím ideálok. 
Igazoljuk, hogy 
\[
\bigoplus_{j=1}^k R\big/I_j \cong R\Big/\prod_{j=1}^k I_j.
\]
Miért általánosítása ez a számelméletből tanult kínai maradéktételnek?

\item
Lássuk be, hogy amennyiben $R$ kommutatív gyűrű valamely $I$ ideáljára 
$I$ és $R/I$ Noether-gyűrű, akkor $R$ is Noether-gyűrű.

\defi $R$ mostantól egységelemes kommutatív gyűrű, $K$ test.

\defi $M\unlhd R$ \emph{maximális ideál}, ha $M\neq R$ és 
$M\subseteq I\unlhd R\Rightarrow I=M$. (Ekvivalens: $R/M$ test.)

\defi $P\unlhd R$ \emph{prímideál}, ha $P\neq R$ és 
$ab\in P\Rightarrow$ $a\in P$ vagy $b\in P$. 
(Ekvivalens: $R/P$ nullosztómentes.)

\defi $Q\unlhd R$ \emph{primér ideál}, ha 
$ab\in Q\Rightarrow$ $a\in Q$ vagy valamely $n$-re $b^n\in Q$.
(Ekvivalens: $R/Q$ minden nullosztója nilpotens.)

\defi $I\unlhd R$ ideál \emph{radikálja} 
$\sqrt I=\left\{ r\in R\,:\,\,\exists n\ge1\text{ amelyre }r^n\in I\right\}$.

\item 
Mutassuk meg, hogy $\Z[x]$-ben $(x)$ prímideál, de nem maximális 
ideál.

\item
Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy két prímideál metszete
mikor prímideál.

\item\hf
Tegyük fel, hogy $R$ kommutatív egységelemes gyűrű, $M$ maximális 
ideál $R$-ben és $M$ minden eleme nilpotens. Bizonyítsuk be, hogy
ekkor $R$ minden $M$-en kívüli elemének van inverze.

\item 
Bizonyítsuk be, hogy ha $Q$ primér, akkor $\sqrt Q$ prímideál.
A megfordítás általában nem igaz, viszont ha $\sqrt Q$ maximális 
ideál, akkor $Q$ primér. (Az utóbbihoz használjuk az előző 
feladat eredményét.)

\item\hf
Igazoljuk, hogy $K[x]$ nemnulla prímideáljai és egyben maximális ideáljai 
az irreducíbilis polinomok által generált ideálok, továbbá $K[x]$ nemnulla 
primér ideáljai ezek hatványai, azaz $(f^n(x))$ alakúak, ahol $f(x)$ 
irreducíbilis polinom és $n\ge1$.

\item
\begin{enumerate}
\item Bizonyítsuk be, hogy maximális ideál hatványa mindig primér.
\item Prímideál hatványa viszont nem feltétlenül primér, ezt a következő 
példa mutatja. Legyen $R=K[x,y,z]/(xy-z^2)$ és 
$P=(\overline x,\overline z)\unlhd R$. 
Mutassuk meg, hogy $P$ prímideál, de $P^2$ nem primér.
\end{enumerate}

\item 
Nem minden primér ideál prímideál hatványa, például legyen
$R=K[x,y]$ és $Q=(x,y^2)$. Lássuk be, hogy ez valóban ellenpélda.

\item
A primér felbontás általában nem egyértelmű. Legyen $R=K[x,y]$, 
és $I=(x^2,xy)$. Igazoljuk, hogy $I=(x)\cap(x^2,y)=(x)\cap(x,y)^2$,
és mindkettő $I$-nek minimális primér felbontása.

\item\hf
Igazoljuk, hogy Dedekind-gyűrűben $A,B,C$ nemnulla ideálokra
$AC\subseteq BC\iff A\subseteq B\iff \exists D\text{ ideál, amelyre } A=BD$.


\end{enumerate}



\end{document}
