\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
5. gyakorlat: Féligegyszerű gyűrűk, Wedderburn--Artin-tétel
}
\end{center}

\begin{enumerate}



\item
Álljon az $F_n$ gyűrű egy $R$ gyűrű elemeiből képezett szigorúan 
felső háromszög mátrixokból (azaz a főátlóban és alatta csak 0 lehet).
Lássuk be, hogy $F_n$ nilpotens gyűrű, és az
\[
F=\bigoplus_{n=1}^\infty F_n
\]
gyűrű minden eleme nilpotens, de $F$ maga nem nilpotens.\\
($\oplus$ direkt \underline{összeg}, azaz $F$ elemei 
mátrixokból álló olyan végtelen sorozatok, amelyek majdnem 
minden koordinátájában a 0 mátrix szerepel.)

\item
Adjunk példát bal oldali Artin-gyűrűre, amely nem féligegyszerű.

\item
Igazoljuk, hogy $R$ egységelemes gyűrűben a következők teljesülnek.
\begin{enumerate}
\item Ha $e\in R$ idempotens, akkor $R=Re\oplus R(1-e)$ balideálok direkt
összege.
\item Ha $R=A\oplus B$ balideálok direkt összege, akkor van olyan 
$e\in R$ idempotens, amelyre $A=Re$ és $B=R(1-e)$.
\item Ha $e\in Z(R)$ idempotens, akkor $R=Re\oplus R(1-e)$ ideálok direkt
összege.
\item Ha $R=A\oplus B$ ideálok direkt összege, akkor van olyan 
$e\in Z(R)$ idempotens, amelyre $A=Re$ és $B=R(1-e)$.
\end{enumerate}
Itt $Z(R)=\{z\in R\,:\,\,rz=zr\,\,(\forall r\in R)\}$ az $R$ 
gyűrű \emph{centrum}a.

\item
Mikor lesz az $R=\Z/(n)$ gyűrű féligegyszerű és mikor egyszerű? 
Amennyiben féligegyszerű, adjuk meg $R$ felbontását egyszerű gyűrűk 
direkt összegére.

\item\hf
Válaszoljuk meg az előző feladat kérdéseit $\Z$ helyett $K[x]$-re, ahol
$K$ test, tehát $R=K[x]/(f)$, valamely $f\in K[x]$ polinomra.
(Segítség: $R$ Artin, ha $f\neq0$. Ennek igazolásához
azt lássuk be, hogy $R$ egy $K$ feletti véges dimenziós vektortér.)

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha $R$ bal oldali Artin-gyűrű, akkor
\begin{enumerate}
\item ha $R$-nek nincs 0-tól különböző nilpotens eleme, akkor 
ferdetestek direkt összege; 
\item ha $R$ nullosztómentes, akkor ferdetest.
(Ezzel új bizonyítást adtunk az 1.4. feladatra.)
\end{enumerate}
Megjegyzés: ha $R$ tetszőleges véges gyűrű, akkor az (a) és (b) állítások 
igazak maradnak úgy is, ha a ferdetest szót testre cseréljük,
mivel Wedderburn tétele szerint minden véges ferdetest test.

\item\hf
Mutassuk meg, hogy kommutatív Artin-gyűrűben minden prímideál maximális.

\item\hf
Határozzuk meg a kommutatív féligegyszerű gyűrűket.

\item\hf
Legyen $R$ kommutatív gyűrű és $I$ az $R$ egy ideálja. Mutassuk meg, hogy 
$R/I$ baloldali $R$-modulus az $r\cdot[a]_I:=[ra]_I$ szorzással
(ahol $[a]_I$ az $a\in R$ elem $I$ szerinti mellékosztályát jelöli).
Speciálisan $I=0$-ra $R$ modulus $R$ felett. Igazoljuk, hogy
$R$ részmodulusai éppen $R$ ideáljai.
\end{enumerate}

\end{document}
