\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\Ann}{\mathop{\mathrm{Ann}}}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\mathrm{Hom}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
6. gyakorlat: Modulusok}
\end{center}


\defi A feladatokban szereplő gyűrűk mind egységelemesek a modulusok
pedig unitér modulusok (azaz $1m=m$ a modulus minden $m$ elemére).

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg az összes véges $\Q$-, $\Z$- és $\Z_6$-modulust. 

\item
Legyen $M$ baloldali $R$-modulus, $m\in M$ és $\Ann(m):=\{r\in R\,:\,\,rm=0\}$
az $m$ \emph{annullátora}. 
\begin{enumerate}
\item Bizonyítsuk be, hogy $\Ann(m)$ balideálja $R$-nek. 
\item Tegyük fel, hogy $R$ kommutatív. Definiáljunk olyan $R'$ gyűrűt, 
amelyre a fenti $M$ baloldali $R'$-modulus, és $R'$ semelyik elemével sem
triviális a szorzás, azaz minden nem nulla $r\in R'$-re van olyan $m\in M$, 
hogy $rm\neq0$.
\end{enumerate}

\item
Lássuk be, hogy amennyiben $M$ baloldali $R$-modulus generálható $k$ 
elemmel, akkor $M=Rm_1+\dots+Rm_k$ valamely $m_1,\dots,m_k\in M$ elemekre
és $M$ ekkor izomorf az $R\oplus\dots\oplus R$ (k összeadandóból álló) 
\emph{$k$ rangú szabad $R$-modulus} egy faktormodulusával.


\defi Azt mondjuk, hogy egy $M$ modulus \emph{Noether-féle}, ha 
részmodulusainak minden szigorúan növekvő lánca véges. 

\item\label{RNoether}
Mutassuk meg, hogy $R$ gyűrű balideáljaira pontosan akkor teljesül a 
maximumfeltétel, ha $R$ mint $R$-modulus Noether-féle.

\item\hf 
Igazoljuk, hogy $M$ modulus pontosan akkor Noether, ha minden 
részmodulusa végesen generált.

\item 
Bizonyítsuk be, hogy amennyiben $N\leq M$ modulusok, akkor: 
$M$ Noether $\iff$ $N$ és $M/N$ Noether.

\item
Legyen $R$ bal-Noether gyűrű (azaz olyan amire a \ref{RNoether}. feladat 
feltétele teljesül). Igazoljuk, hogy 
\begin{enumerate}
\item minden $k$ pozitív egészre a $k$ rangú szabad $R$-modulus Noether;
\item\hfa egy $R$-modulus pontosan akkor Noether, ha végesen generált.
\end{enumerate}


\defi Egy modulus \emph{egyszerű}, ha nincs valódi részmodulusa, és 
\emph{féligegyszerű}, ha felírható egyszerű modulusok (esetleg végtelen) 
direkt összegeként.

\item\hf
Bizonyítsuk be, hogy ha $M$ féligegyszerű, akkor minden $A\leq M$
részmodulusa direkt összeadandó, azaz van hozzá $B\leq M$, hogy 
$A\oplus B=M$.\\
(Útmutatás: Mutassuk meg, hogy ha $M=\bigoplus_{i\in\Lambda}M_i$ és minden 
$M_i$ egyszerű, akkor van olyan maximális $\Gamma\subseteq\Lambda$ halmaz, 
amelyre $\left(\bigoplus_{i\in\Gamma}M_i\right)\cap A=\{0\}$, továbbá hogy 
$B=\bigoplus_{i\in\Gamma}M_i$ megfelelő választás.)\\
Az állításnak egyébként a megfordítása is igaz.

\item\hf
Legyen $M$ projektív $\Z$-modulus. Igazoljuk, hogy $M$-nek nullelemén kívül
nincsen véges rendű eleme (torziómentes).\\
(Az igazság: $M$ végesen generált $\Z$-modulus: szabad $\iff$
projektív $\iff$ torziómentes. A nemtriviális irány beadható +10 pontért.)

\end{enumerate}

\end{document}
