\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ann}{\mathop{\mathrm{Ann}}}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\mathrm{Hom}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
7. gyakorlat: Projektív és injektív modulusok}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Mutassuk meg, hogy 
\begin{enumerate}
\item projektív modulus direkt összeadandója projektív;
\item injektív modulus direkt összeadandója injektív.
\end{enumerate}

\item
Igaz-e, hogy projektív modulus homomorf képe projektív, injektívé 
injektív?

\item
Legyen $\{M_i\,:\,\,i\in\Lambda\}$ modulusok egy családja. Lássuk be, hogy
\begin{enumerate}
\item minden $M_i$ projektív $\iff$ $\bigoplus\limits_{i\in\Lambda} M_i$ 
projektív;
\item minden $M_i$ injektív $\Rightarrow$ $\prod\limits_{i\in\Lambda} M_i$ 
injektív.
\end{enumerate}
(Bass tétele: $R$ kommutatív gyűrű Noether $\iff$ injektív 
$R$-modulusok direkt összege injektív.)

\item\hf
Legyen $\alpha:A\to B$ injektív modulus-homomorfizmus. Mutassuk meg, hogy
$\im(\alpha)$ pontosan akkor direkt összeadandója $B$-nek, ha van olyan 
$\beta:B\to A$ modulus-homomorfizmus, amelyre $\beta\alpha=id_A$.
Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be az állítás duálisát.


\item {\hskip -28pt (*) \hskip 12pt}\emph{Baer-lemma}\\
Legyen $R$ kommutatív gyűrű, $Q$ pedig $R$-modulus.
$Q$ injektív $\iff$ minden $I\unlhd R$ ideálra és 
$\beta:I\to Q$ $R$-homomorfizmusra van olyan $\gamma:R\to Q$ 
$R$-homomorfizmus, amely $\beta$ kiterjesztése.

\defi
Egy Ábel-csoport \emph{torziómentes}, ha a nullelem kivételével minden 
elemének rendje végtelen és \emph{torzió csoport}, ha minden elemének 
rendje véges.

\defi
Egy \emph{Ábel-csoport osztható}, ha minden $a\in A$ és $n\in\N^+$ esetén
van olyan $b\in A$, hogy $nb=a$.

\item
A Baer-lemma felhasználásával igazoljuk, hogy egy $A$ $\Z$-modulus pontosan 
akkor injektív, ha $A$ osztható Ábel-csoport.

\item\hf
Igazoljuk, hogy a $\Q$ és $\Q/\Z$ modulusok ($\Z$-modulusok) injektívek. 
Mit mondhatunk az ,,osztás'' egyértelműségéről?

\item\hf
Bizonyítsuk be, hogy egy nemnulla $\Z$-modulus nem lehet egyszerre
projektív és injektív, tehát $\Q$ olyan torziómentes $\Z$-modulus, 
amely nem projektív.


\item\emph{Végesen generált Ábel-csoportok alaptétele}\\
Bizonyítsuk be, ha $A$ végesen generált Ábel-csoport, akkor valamely 
$k,r\in\N$ egészekre és $q_1,\dots,q_r$ prímhatványokra
\[
A\cong\Z^k\bigoplus\left(\bigoplus_{i=1}^r\Z_{q_i}\right).
\]
Útmutatás:\\
Legyen $T(A)$ az $A$ véges rendű elemeinek halmaza (\emph{$A$ torzió
részcsoportja}). Mutassuk meg, hogy $T(A)$ részcsoport és $A/T(A)$ 
torziómentes. Kihasználva, hogy minden végesen generált 
torziómentes Ábel-csoport szabad (ld előző feladatsor), igazoljuk, 
hogy alkalmas $k$-ra $A\cong\Z^k\oplus T(A)$. Végül alkalmazzuk a 
véges Ábel-csoportok alaptételét.


\end{enumerate}
\end{document}
