\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ann}{\mathop{\mathrm{Ann}}}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\mathrm{Hom}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
9. gyakorlat: Algebrák}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Határozzuk meg a $K_G$ csoportalgebra idempotens elemeit, ha 
\begin{enumerate}
\item $K=\F_2$, $G=C_2$; 
\item $K=\R$, $G=C_2$;
\item\hfa $K=\F_2$, $G=S_3$.
\end{enumerate}

\item
Mutassuk meg, hogy a \emph{kvaterniók algebrája} ferdetest.
Jelölje ezentúl $\K$ a kvaternióalgebrát.

\item
Igazoljuk, hogy $\K$-ban az $x^2+1=0$ egyenletnek végtelen sok megoldása van.

\item\hf
Legyen $A$ egy véges dimenziós nullosztómentes algebra. Mutassuk meg, hogy 
$A$ ferdetest.\\
(Útmutatás: Legyen $\alpha,\beta\in A$. Meg kell mutatni, hogy 
$\alpha x=\beta$ és $y\alpha=\beta$ megoldható. Az előbbihez azt 
érdemes igazolni, hogy amennyiben 
$\left\{e_i\,:\,\,i=1,\dots,n\right\}\subseteq A$ bázis, akkor 
$\left\{\alpha e_i\,:\,\,i=1,\dots,n\right\}\subseteq A$ is az.)

\item
\begin{enumerate}
\item Legyen a kvaterniók algebrájának $A$ a következő részhalmaza
\[
A:=\left\{bi+cj+dk\in\K\,:\,\,b,c,d\in\R\right\}
\]
Legyen $\alpha,\alpha'\in A$ esetén 
$[\alpha,\alpha']:=\alpha\alpha'-\alpha'\alpha$. 
Mutassuk meg, hogy $A$-n ezt a szorzást tekintve
a kapott struktúra $\R$ feletti Lie-algebra.
\item 
Bizonyítsuk be, hogy a valós test feletti három dimenziós vektorok 
vektortere, ellátva a vektoriális szorzással az előbbivel izomorf 
Lie-algebra. 
\item
Tekintsük a valós elemű $3\times3$-as antiszimmetrikus mátrixok halmazán 
a $[B,C]:=BC-CB$ szorzást. Lássuk be, hogy ez a Lie-algebra is
izomorf a fentiekkel.
\end{enumerate}

\item\hf
Legyen $A$ algebra $\F$ test felett. Egy $\delta: A\to A$ leképezés 
\emph{deriváció}, ha $\delta$ lineáris leképezés és 
$\delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)$. Mutassuk meg, hogy 
$A$ összes derivációi Lie-algebrát alkotnak a 
$[\delta_1,\delta_2]:=\delta_1\delta_2-\delta_2\delta_1$ szorzással
(ahol $\delta_1\delta_2$ a függvénykompozíciót jelenti).

\item
Definiáljuk a \emph{Cayley-algebrát} (nem asszociatív algebra!) a
következőképpen: $A$ az $\alpha$ és $\beta$ kvaterniókkal és 
$u$ szimbólummal képzett $\alpha+\beta u$ alakú formális kifejezések 
halmaza, azaz
\[
A:=\left\{\alpha+\beta u\,:\,\,\alpha,\beta\in\K\right\}.
\]
Az összeadás és $\R$ elemeivel való szorzás természetes módon definiált,
a szorzás szabálya:
\[
(\alpha+\beta u)\cdot(\alpha'+\beta' u):=
(\alpha\alpha'-\overline\beta'\beta)+(\beta'\alpha+\beta\overline\alpha')u,
\]
ahol egy $\gamma\in\K$ \emph{konjugáltja} $\overline{a+bi+cj+dk}=a-bi-cj-dk$.
Lássuk be, hogy $A$ valóban algebra és mutassuk meg, hogy nem asszociatív.


\end{enumerate}
\end{document}
