\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ann}{\mathop{\mathrm{Ann}}}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\mathrm{Hom}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{enumerate}
\item[0.]\hf
 Bizonyítsuk be, hogy a $2\times2$-es valós szimmetrikus mátrixok $H_2(\R)$
Jordan-algebrája egyszerű.\\
(A szorzás: $A\circ B = \frac12\left(AB+BA\right)$. 
Egyszerű: nincs valódi ideálja.)
\end{enumerate}



\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
10. gyakorlat: Testbővítések (bevezető)}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Legyen $\alpha$ az $x^2-x+1\in\Q[x]$ polinom egyik gyöke.
Hány dimenziós $\Q(\alpha)$, mint $\Q$ feletti vektortér, azaz 
mennyi $\left[\Q(\alpha)\colon\Q\right]$? Bizonyítsuk be, hogy 
$\alpha^7$ és $\alpha$ lineárisan összefüggőek ebben a vektortérben.

\item
Bizonyítsuk be, hogy $\Q[x]/(x^2-2)\cong\Q[x]/(x^2-2x-1)$.

\item
Legyen $K$ az $F$ test egy bővítése. Igazoljuk, hogy amennyiben 
$\left[K:F\right]$ prím, akkor nincs olyan $L$ test, amire 
$F\subsetneq L\subsetneq K$.

\item
Hányadfokú a $\Q(i\sqrt3)$, illetve a  $\Q(i+\sqrt3)$ bővítés $\Q$ felett?

\item\hf
Lássuk be, hogy $\Q(\sqrt5,\sqrt7)=\Q(\sqrt5+\sqrt7)$. Mennyi a
$\Q(\sqrt5,\sqrt7)/\Q$ bővítés foka?

\item
Igazoljuk, hogy amennyiben $\varphi$ a $K$ test automorfizmusa, 
akkor $\varphi$ fixen hagyja $K$ prímtestét.

\item
Mutassuk meg, hogy 
$\Q(\sqrt a)\cong\Q(\sqrt b)\iff\Q(\sqrt a)=\Q(\sqrt b)$.
Legyen $\varepsilon$ primitív harmadik egységgyök. Lássuk be, hogy
$\Q(\sqrt[3]2)\cong\Q(\varepsilon\sqrt[3]2)$, de 
$\Q(\sqrt[3]2)\neq\Q(\varepsilon\sqrt[3]2)$.

\item\hf
Legyen $K$ a $\Q$ másodfokú bővítése. Igazoljuk, hogy létezik egyetlen 
olyan $a$ négyzetmentes egész, amelyre $K=\Q(\sqrt a)$.

\item
Határozzuk meg a $\left[\Q(\sqrt[4]2,\sqrt3):\Q\right]$ testbővítés fokát.

\item\hf
Van-e gyöke az $x^4-5$ polinomnak $\Q(\sqrt3)$-ban?

\item
Legyen $\F_2$ a két elemű test és $\alpha$ az $x^2+x+1$ polinom egy gyöke.
Mutassuk meg, hogy $\alpha\not\in\F_2$.
Írjuk fel $\F_2(\alpha)$ szorzótábláját.
Adjunk meg $\F_2(\alpha)$ egy másodfokú bővítését.

\item
Legyen $\varepsilon$ primitív 12-edik egységgyök. Mennyi $\Q(\varepsilon)/\Q$
bővítés foka? 

\item
Mi $\cos 20^\circ$ minimálpolinomja $\Q$ felett?


\end{enumerate}
\end{document}
