\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ann}{\mathop{\mathrm{Ann}}}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\mathrm{Hom}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\minpol}{\mathop{\mathrm{minpol}}}
\newcommand{\Gal}[1]{\mathop{\mathrm{Gal}}\left(#1\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2. 2005/2006 ősz\\
13. gyakorlat: Galois-bővítések, véges testek}
\end{center}

\defi
Legyen $K/F$ véges bővítés. Ekkor $\Gal{K/F}$ \emph{Galois-csoport} a 
$K$ test $F$ test elemeit fixen hagyó összes automorfizmusaiból áll.

\defi
A $K/F$ véges bővítés \emph{Galois-bővítés}, ha 
$\left|\Gal{K/F}\right|=[K:F]$. Ez azzal
ekvivalens, hogy $K/F$ normális és szeparábilis.

\defi
{\bf Tétel.} Legyen $K/F$ normális bővítés, $\alpha\in K$ és $\alpha'\in K$
az $\alpha$ minimálpolinomjának egy gyöke. Ekkor van olyan 
$\sigma\in \Gal{K/F}$, amelyre $\sigma(\alpha)=\alpha'$.

\begin{enumerate}

\item
Határozzuk meg a $K/F$ bővítés Galois-csoportját és a bővítés közbülső 
testeit, ahol $K$ az $f(x)$ polinom $F$ feletti felbontási teste és 
$F=\Q$, $f(x)=x^3-7$. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot $F=\F_2$,
$f(x)=x^6+1$ esetén is.

\item
Mennyi a $\Gal{\F_p(\sqrt[p]t)/\F_p(t)}$ és a $\Gal{\Q(\sqrt[3]2)/\Q}$ 
csoportok elemszáma?

\item
Bizonyítsuk be, hogy $\Q(\varepsilon)/\Q$ bővítés Galois-csoportja izomorf
$(\Z_n)^*$-gal, ahol $\varepsilon$ primitív $n$-edik egységgyök.
(Felhasználhatjuk, hogy $\varepsilon$ minimálpolinomjának gyökei pontosan
a primitív $n$-edik egységgyökök.)

\item\hskip -25pt $*$ \hskip 17pt
Lássuk be, hogy minden véges Ábel-csoport előáll mint valamely $K/\Q$
bővítés Galois-csoportja. (Híres megoldatlan probléma, hogy tetszőleges 
véges csoporttal igaz-e ugyanez.)

\item\hf
Tegyük fel, hogy $n\ge 2$ egész, $F$ test, amely karakterisztikája nem 
osztja $n$-et, $F$ tartalmaz $\varepsilon$ primitív $n$-edik egységgyököt,
továbbá $f(x)=x^n-a\in F[x]$ irreducibilis polinom. Határozzuk meg
$\Gal{K/F}$ csoportot, ahol $K$ az $f(x)$ felbontási teste.

\item
Lássuk be, hogy ha $K\supseteq F$ véges testek, akkor $K$ az $F$ egyszerű 
bővítése.\\
(Útmutatás: használjuk, hogy $K$ multiplikatív részcsoportja ciklikus)

\item
Mutassuk meg, hogy tetszőleges $F$ véges test és $n$ egész szám esetén
van $F$ felett $n$ fokú irreducibilis polinom.

\item\hf(\emph{Primitív elem tétel}) Igazoljuk, hogy minden véges 
szeparábilis bővítés egyszerű.\\
(Útmutatás: mutassuk meg, hogy a bővítésnek csak véges sok közbülső 
teste van, ennek segítségével pedig lássuk be, hogy 
ha $F$ elemszáma végtelen, $\alpha,\beta\in K$, akkor van két különböző 
$\lambda_1,\lambda_2\in F$, amelyre 
$F(\lambda_1\alpha+\beta)=F(\lambda_2\alpha+\beta)$.
Ebből következtessünk arra, hogy $F(\lambda_1\alpha+\beta)=F(\alpha,\beta)$.)

\item
\begin{enumerate}
\item Legyen $f(x)\in\F_p[x]$ $n$-edfokú irreducibilis polinom, 
aminek $\alpha$ egy gyöke. Igazoljuk, hogy $\F_p(\alpha)$ egy $p^n$ 
elemű test.
\item Legyen $\F_{p^n}$ egy $p^n$ elemű test. Mutassuk meg, hogy $\F_{p^n}$ 
a felbontási teste $x^{p^n}-x$ polinomnak. (Ezek szerint $p^n$ elemű
testből egyetlen egy van.)
\item Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $n$-edfokú $\F_p$ együtthatós 
irreducibilis polinom lineáris tényezőkre esik szét $\F_{p^n}$-ben.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Mutassuk meg, hogy $\Gal{\F_{p^n}/\F_p}$ $n$-edrendű ciklikus csoport,
amelynek a Frobenius-au\-to\-mor\-fiz\-mus ($a\mapsto a^p$) generátora.
\item Határozzuk meg a bővítés $L$ résztesteit és írjuk le az 
$L/\F_p$ és $\F_{p^n}/L$ részbővítések Galois-cso\-port\-ja\-it is.
\end{enumerate}

\item\hf
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $n$-edfokú $\F_{p^k}$ együtthatós 
irreducibilis polinom lineáris tényezőkre esik szét $\F_{p^{kn}}$-ben.

\item\hf
Határozzuk meg $K/\F_8$ Galois-csoportját, ahol $K$ az
$x^2+x+1$ polinom $\F_8$ feletti felbontási teste.

\end{enumerate}
\end{document}
