\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2., első ZH\\}
{\bf 2005 november 4.}
\end{center}

\begin{enumerate}

%\item Igazoljuk, hogy főideálgyűrű homomorf képének bármely
%ideálja generálható egyetlen elemmel.
%Keressünk egy-egy példát, amely mutatja, hogy  
%\begin{enumerate}
%\item főideálgyűrűk direkt összege nem feltétlenül főideálgyűrű;
%\item főideálgyűrű részgyűrűje nem feltétlenül főideálgyűrű.
%(Segítség: minden test főideálgyűrű)
%\end{enumerate}

\item
Adjuk meg $\Z[x]$ gyűrű egy
\begin{enumerate}
\item maximális ideálját;
\item prímideálját, amely nem maximális;
\item primér ideálját, amely nem prímideál.
\end{enumerate}
Természetesen igazolni kell, hogy a példák megfelelőek.

%\item Legyen $R$ kommutatív, egységelemes gyűrű és $M\neq R$ egy ideálja. 
%Mutassuk meg, hogy a következő állítások ekvivalensek:
%\begin{enumerate}
%\item $M$ az $R$ egyetlen maximális ideálja.
%\item Minden $r\in R\setminus M$ elemnek létezik inverze.
%\end{enumerate}

%\item
%Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $K$ test és $n$ pozitív egész esetén az 
%$R=K[x]/(x^n)$ gyűrű minden maximális ideálja prímideál. Mutassunk $R$-ben
%primér ideált, amely nem maximális.

\item
Legyen $p\in\Z$ prímszám és
\[
R=\left\{\frac ab\in\Q\,:\,\,a,b\in\Z\text{ és }p\nmid b\right\}.
\]
\begin{enumerate}
\item Igazoljuk, hogy $R$ részgyűrűje $\Q$-nak és határozzuk meg $R$ 
egységeit (1 osztóit).
\item Bizonyítsuk be, hogy $R$ tetszőleges valódi ideálját valamely $n$ 
pozitív egészre $p^n$ generálja.
\item Lássuk be, hogy $R$ Dedekind-gyűrű.
\end{enumerate}

\item
Mutassuk meg, hogy ha egy $R$ Dedekind-gyűrűben minden irreducíbilis
elem prím (tehát $R$ UFD: $R$ minden eleme egyértelműen áll elő
irreducíbilisek szorzataként), akkor $R$ főideálgyűrű.

\item
Legyen $R$ egységelemes gyűrű, $L$ nilpotens balideálja, $M$ pedig
egyszerű $R$-modulus (tehát nincs valódi részmodulusa). Mutassuk meg, 
hogy minden $\ell\in L$ és $m\in M$ esetén $\ell m=0$.

\item 
Tegyük fel, hogy $R$ egységelemes gyűrű, $e\in R$ idempotens és $Re$ 
minimális balideál $R$-ben. Bizonyítsuk be, hogy $e$ primitív idempotens
(azaz $e$ nem bontható valódi módon egymásra merőleges idempotensek 
összegére, tehát $e=e_1+e_2$, $e_1^2=e_1$, $e_2^2=e_2$ és 
$e_1e_2=e_2e_1=0$ esetén $e_1=0$ vagy $e_2=0$).


\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.\\
A feladatok nem nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!\\
}
\end{document}
