\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ann}{\mathop{\mathrm{Ann}}}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\mathrm{Hom}}}
\newcommand{\ord}{\mathop{\mathrm{o}}}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}
\newcommand{\Syl}[2]{\mathop{\mathrm{Syl}_{#1}}\left(#2\right)}
\newcommand{\minpol}{\mathop{\mathrm{minpol}}}
\newcommand{\Gal}[1]{\mathop{\mathrm{Gal}}\left(#1\right)}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}
\newcommand{\mo}{{\bf Megoldás:\\}}
\newcommand{\moe}{{\bf Megoldás:}}
\newcommand{\moszam}[1]{{\bf #1. megoldás:\\}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Algebra 2., második ZH\\}
{\bf 2005 december 14.}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Legyen $G$ (kommutatív) csoport, amelyben az $e$ egység kivételével
minden elem rendje 2. Mutassuk meg, hogy az $\F_2G$ csoportalgebrának 
pontosan két idempotens eleme van.

\item
Legyen $R$ egységelemes gyűrű, $e\in R$ idempotens elem. Igazoljuk, 
hogy $Re$ baloldali $R$-modulus projektív.

\item
Lássuk be, hogy amennyiben $p$ páratlan prím, akkor az
\[
x^{p-1}-x^{p-2}+x^{p-3}-\dots+x^2-x+1
\]
polinom irreducibilis $\Q$ felett.

\item
Tegyük fel, hogy $F$ test, és $f(x)\in F[x]$ olyan polinom, amire 
igaz, hogy ha $F$ egy $K$ bővítésében benne van valamely gyöke, 
akkor minden gyöke $K$-ban van. Mutassuk meg, hogy $F[x]$-ben
$f(x)$ azonos fokú irreducibilis polinomok szorzata.

\item
Legyen $\varepsilon\in\C$ primitív 12-dik egységgyök. Határozzuk meg a
$\Gal{\Q(\varepsilon)/\Q}$ csoportot és mutassuk meg, hogy a 
$\Q(\varepsilon)/\Q$ bővítés valódi közbülső testei pontosan 
$\Q(i)$, $\Q(\sqrt3)$ és $\Q(i\sqrt3)$.

\item
Hány eleme van az $x^3+x^2+1$ polinom $\F_4$ feletti felbontási testének?

\end{enumerate}

\vskip 1cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.\\
A feladatok nem nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér, 40 pont számít 100\%-nak.\\
Figyeljetek a válaszok precíz indoklására!\\
}
\end{document}
