\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{fullpage}

\newcommand{\tg}{\mathop\textup{tg}}
\newcommand{\ctg}{\mathop\textup{ctg}}
\newcommand{\arctg}{\mathop\textup{arctg}}
\newcommand{\sh}{\mathop\textup{sh}}
\newcommand{\arsh}{\mathop\textup{arsh}}
\newcommand{\arth}{\mathop\textup{arth}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika B1 2002/2003 ősz\\
6. Gyakorlat}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg következő kifejezések pontos értékét (egyszerűsítsük)!
\[
\ctg \arcsin \frac 4 5,\quad
13 \cos \arctg \frac{5}{12}
\]

\item Hol differenciálhatóak a következő függvények? Ha valahol nem
folytonosak, tegyük folytonossá!
\[
\left|x^3\right|,\quad
\left|\cos x\right|,\quad
\sh |x|,\quad
\left|\tg x\right|,\quad
x \sin\frac 1 x,\quad
x^2 \sin\frac 1 x
\]

\item Deriválási szabályok
\[
(cf)'=cf',\quad
(f\pm g)'=f'\pm g',\quad
(fg)'=f'g+fg',\quad
\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
\]
\[
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x),\quad  % Leibniz szellemében
{f^{-1}}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
\]

\item Deriváljuk a következő függvényeket!

\[
x^5+3x^2+2,\quad
(x-4)(x+i+1),\quad
\frac{x^6+3x^2-11x+1}{\sin x + \sqrt 2 \cos x},\quad
\frac{\sin x + 1}{\tg x}
\]
\[
\sqrt{\sin\left(e^{x^2}\right)},\quad
\frac{\sqrt[3]{\arsh x - \arth\left( x^2 + 1 \right)}}{\ln \ln x}
\]

\item Határozzuk meg az $\displaystyle x\mapsto x^2$ függvény $x$ tengellyel $\displaystyle \frac\pi 3$
szöget bezáró érintőjének egyenletét!

\item Mely pontban párhuzamos az $\displaystyle x\mapsto \frac{x+3}{x-1}$ függvény
érintője az $y=-2x$ egyenessel? Írjuk is fel az érintő egyenletét!

\end{enumerate}
\end{document}
