\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}

\setlength{\hoffset}{-2cm}
\setlength{\voffset}{0pt}

\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\textheight}{4cm}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf 1. Gyakorlat}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Oldjuk meg a lineáris egyenletrendszert!
\begin{eqnarray*}
-5x+2y+z &=& 1 \\
2x+3y+2z &=& 4 \\
3x+4y+3z &=& 2 
\end{eqnarray*}

\item Az $a \in \mathbf{\mathsf{R}}$ paraméter mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Mik a megoldások?
\begin{eqnarray*}
2x-y+z+y&=&1 \\
x+2y-z+4t&=&2 \\
x+7y-4z+11t&=&a 
\end{eqnarray*}

\item Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
\begin{eqnarray*}
x-2y+z &=& 0 \\
x+y-2z &=& 3 \\
x-y-pz &=& q
\end{eqnarray*}

\item Oldjuk meg!
\[ x_1+x_2=1, \,  x_2+x_3=1, \, \dots, \, x_{n-1}+x_n=1, \, x_n+x_1=1 \]

\item Oldjuk meg: \\
$
\begin{array}{rrrrrcr}
1&2&-1&-1&-1&=&-1\\
1&2&-1&0&1&=&1\\
-1&-1&1&3&-2&=&2\\
2&2&-2&-5&4&=&-2\\
3&7&-3&1&2&=&2
\end{array}
$
;
$
\begin{array}{rrrrrcr}
1&9&2&-5&-3&=&9\\
0&2&0&3&0&=&5\\
-2&0&-4&1&6&=&3\\
3&5&6&6&-9&=&8\\
0&8&0&-6&0&=&8
\end{array}
$
\item Határozzuk meg a $(2,9,13)$, $(5,8,1)$ és $(1,1,2)$ pontokon átmenõ sík egyenletét!

\item Határozzuk meg a $(3,4,5)$ pontokon átmenõ, a $3x+y-3y=8$ egyenletû síkkal párhuzamos sík egyenletét!

\item Létezik-e az alábbi síkoknak közös pontjuk?
\begin{eqnarray*}
\hbox{(a) } x+y+z=4 \hbox{ és } 2x+3y-z=6 \hbox{ , illetve}\\
\hbox{(b) } x+y+z=4 \hbox{ , } 2x+3y-z=6 \hbox{ és } -x-y+2z=-4\\
\end{eqnarray*}

\item Létezik-e olyan egyenes, amely az alábbi síkok mindegyikével párhuzamos? Ha igen, adjuk meg ezek közül az origón átmenõnek az egyenletét! A síkok: $ 2x+4y+3z=1$, $x+7y+4z=3$, $3x-5y-z=-4$.

\item  A $p$ és $q$ paraméterek mely értékeire lesz igaz, hogy a $2x+3y-z=6$, $x+3y+2z=5$ és $4x-3y+pz=q$ egyenletû síkoknak \\
a) nincs közös pontjuk, \\
b) pontosan egy közös pontjuk van, \\
c) egy egyenesben metszik egymást.

\item Mi történik, ha az egyenletrendszer megoldásakor elemi oszlopmûveleteket is végzünk a mátrixon? Változik-e a megoldhatóság, illetve a megoldások halmaza?



\end{enumerate}
\end{document}
