\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}
% \usepackage{bbm}

\setlength{\hoffset}{-2cm}
\setlength{\voffset}{-3cm}

\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}

\newcommand{\Halm}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}}
% \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
% \newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
% \newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}


\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf 4. Gyakorlat}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán:

\begin{enumerate}
\item $z^2+\Conj z = \Conj z ^2 + z$
\item $|z|-z=1+2i$
\item $1+zi-z^2=0$
\item $|z|-2z=2+3i$
\end{enumerate}

\item Mely $z$ komplex számokra lesz az alábbi kifejezés értéke valós:
$z+\Conj z^2$?

\item Milyen $n \in \Halm N$-re lesz $z_1^n+z_2^n$ valós szám, ha
$z_1=\frac 12 + \frac{\sqrt 3}{2} i$ és $z_2=\frac 12 - \frac{\sqrt 3}{2} i$  


\item Bizonyítsuk be (minél több módon), hogy az $n$. egységgyökök összege zérus.

\item Legyen $\varphi=\frac{2\pi}{n}$. Bizonyítsuk be, hogy $\sin \varphi +
\sin 2 \varphi + \dots + \sin n\varphi=0$. (Hasonlóan $\cos$-ra.) 

\item (** 5p) Bizonyítsuk be, hogy $\forall n \forall \varphi :$ $\sin \varphi +
\sin 2 \varphi + \dots + \sin n\varphi = \frac{\sin(\frac{n+1}{2}\varphi)\sin\frac{n\varphi}{2}}{\sin \frac{\varphi}{2}}$

\item Jelölje $y=\cos\varphi + i\sin\varphi$. Bizonyítsuk be, hogy
$\frac{y^n+\Conj{y}^n}{2}=\cos n\varphi$ valamint $\frac{y^n-\Conj{y}^n}{2i}=\sin n\varphi$

\item Oldjuk meg a komplex számok körében: $z^{-n}=(\Conj z)^n$

\item Bizonyítsuk be, hogy $\forall n \in \Halm N : (1+i)^n=2^{n/2}
\cdot \left ( \cos \frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4} \right )$

\item (*) Adjuk meg az $(1+\omega)^n$ kifejezés értékét zárt alakban, ha
$\omega=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}$

\item Számítsuk ki az alábbi hatványt: $\left ( \frac{1-i}{2-4i} \right
)^{2000}$

\item Mennyi $\sqrt{i}$?

\item Igazoljuk, hogy $(1+i)^n+(1-i)^n=2\left(\sqrt 2 \right ) ^n\cos\frac{n\pi}2$

\item Melyek azok a $z_1$, $z_2$ komplex számok, melyekre $\Conj{z_1+z_2}$
és $\Conj{z_1 \cdot z_2}$ is valós?

\item Mely $z$ komplex számok elégítik ki az $1+z+z^2+z^3+\dots+z^{12}=1$ egyenletet?

\end{enumerate}

Képletgyűjtemény:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

$(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$z^n=\left( r\cdot(cos\varphi + i\sin\varphi) \right)^n=r^n(\cos n\varphi +
i\sin n\varphi)$

$z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2 \cdot \left ( \cos(\varphi_1+\varphi_2)
+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right)$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2} \cdot \left ( \cos(\varphi_1-\varphi_2)
+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right)$, ha $z_2 \neq 0$


$(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$

$(a-bi)^2=a^2-b^2-2abi$

$z\Conj z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2$

$i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$

$\cos nx=\frac{(\cos x + i\sin x)^n + (\cos x - i\sin x)
^n}{2}=\frac{y^n+y^{-n}}{2}=\frac{y^n+\Conj y ^n}{2}$

$\sin nx=\frac{(\cos x + i\sin x)^n - (\cos x - i\sin x)
^n}{2i}=\frac{y^n-y^{-n}}{2i}=\frac{y^n-\Conj y ^n}{2i}$

$z+\Conj z=r\cdot 2\cos\varphi$

$z-\Conj z=r\cdot 2i\sin\varphi$

$\Conj{z_1 \cdot z_2}=\Conj{z_1}\cdot\Conj{z_2}$

$\Conj{z_1 + z_2}=\Conj{z_1}+\Conj{z_2}$

$\cos x \pm i\sin x+1=2\cos\frac x2 \left ( \cos \frac x2 \pm i\sin \frac x2  \right )$

$\cos x \pm i\sin x-1=2i\sin\frac x2 \left ( \cos \frac x2 \pm i\sin \frac
x2  \right )$

$|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$

$\sin \varphi +
\sin 2 \varphi + \dots + \sin n\varphi =
\frac{\sin(\frac{n+1}{2}\varphi)\sin\frac{n\varphi}{2}}{\sin
\frac{\varphi}{2}}$

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot\left( \cos \left ( \frac{\varphi}n +
\frac{2k\pi}n\right ) + i\sin\left(\frac{\varphi}n+\frac{2k\pi}n\right )
\right )$, $k=0, 1, \dots, n-1$

$\sqrt[n]{1}=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$
\end{document}










