\documentclass[a4paper,twocolumn,10pt]{article}
\pagestyle{empty}

\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{bbm}

\newcommand{\jel}[1]{{\bf Jel } {#1} \\}
\newcommand{\defi}[1]{{\bf Def } {#1} \\}
\newcommand{\kov}[1]{{\bf Következmény } {#1} \\}
\newcommand{\tetel}[1]{{\bf Tétel } {#1} \\}
\newcommand{\megj}[1]{{\bf Megjegyzés } {#1} \\}

\newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\Halm}[1]{\mathbbm{#1}}

\newcommand{\V}{\mathbf}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\tr}{\mathop{\mathrm{tr}}}



\frenchspacing
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\setlength{\hoffset}{-1.3cm}
\setlength{\voffset}{-3cm}
%\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{document}

\title{Bevezetés a számításelméletbe}
\author{}
\date{}
\maketitle

\begin{section}{Permutációk}
\defi{permutáció}
\defi{inverzió, inverziószám, inverzió paritása}
\defi{permutáció inverze}
\tetel{$\pi^{*}_{(i,j)}(i):=\pi(j)$, $\pi^{*}_{(i,j)}(j):=\pi(i)$ és
$\pi^{*}_{(i,j)}(k):=\pi(k)$, ha $k\ne i,j$. Ekkor $\pi$ és
$\pi^{*}_{(i,j)}$ különböző paritásúak.}
\tetel{$S_n$-ben ugyanannyi a páros és a páratlan
permutációk száma. (Bizonyítás nélkül)}
\tetel{$\pi$ és $\pi^{-1}$ azonos paritásúak.}
\end{section}

\begin{section}{Determinánsok}
\defi{determináns}
\kov{Sarrus-szabály}
\tetel{Sor szorzása konstanssal}
\kov{Ha van csupa $0$ sor, a determináns $0$.}
\tetel{Sorcsere}
\kov{Ha két sor egyenlő, a determináns $0$.}
\defi{mátrix transzponáltja}
\tetel{$\det{A} = \det{A^T}$}
\kov{Sorokra vonatkozó tételek érvényesek oszlopokra is és viszont.}
\jel{$A$ mátrix $i$-edik oszlopa $\mathbf{a_i}$ és az
$i$-edik sora $\mathbf{a_i^*}$.}
\tetel{Ha $A$, $B$ és $C$ mátrixokra: $\mathbf{a_i^*} =
\mathbf{b_i^*} + \mathbf{c_i^*}$ valamely sorra,
és $\forall k \ne i$-re $\mathbf{a_k^*} = \mathbf{b_k^*} =
\mathbf{c_k^*}$, akkor $\det{A} = \det{B} + \det{C}$.}
\kov{Egy sorhoz hozzáadva egy másik konstansszorosát a determináns
nem változik.}
\defi{$A_{n \times n}$ mátrix $a_{ij}$-hez tarozó részmátrixa,
aldeterminánsa, előjeles aldeterminánsa}
\tetel{Kifejtési és ferde kifejtési tétel}
\tetel{Determinánsok szorzástétele (Biz nélk.)}
\defi{Vandermonde-determináns}
\end{section}

\begin{section}{Mátrixok tulajdonságai}
\defi{mátrix}
\defi{mátrixok összege, konstanssal szorzása, nullmátrix}
\tetel{A fenti műveletek tulajdonságai}
\defi{mátrixok szorzása, egységmátrix}
\defi{reguláris, szinguláris mátrix}
\tetel{$A_{n \times n}$ reguláris mátrixnak létezik inverze és
egyértelmű, szingulárisnak nincs inverze.}
\defi{mátrix rangja (determinánsrang)}
\tetel{Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független
oszlopvektorainak maximális számával (Biz nélk.)}
\kov{$A$ mátrix rangja az $A$ által meghatározott lineáris
leképezés képterének a dimenziója.}
\tetel{Egy mátrix rangja egyenlő a lineárisan független
sorvektorainak maximális számával.}
\tetel{A mátrix elemi átalakításai nem változtatják meg a rangját.}
\defi{szimmetrikus, ferdén szimmetrikus mátrix}
\end{section}

\begin{section}{Lineáris egyenletrendszerek}
\tetel{Legyen $A_{n \times m}$ mátrix, $\mathbf{b}_{m \times 1}$
(oszlop)vektor. Ekkor $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ egyenlet egy $m$
ismeretlenes $n$ egyenletből álló lineáris egyenletrendszert határoz meg.}
\tetel{Gauss-elimináció, a megoldhatóság feltételei, megoldások száma}
\tetel{$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ akkor és csak akkor megoldható,
ha $\mathsf{r}(A)=\mathsf{r}(A,\mathbf{b})$
Egyértelmű a megoldás, ha az előbbi közös rang egyenlő az ismeretlenek
számával. Végtelen sok megoldás van, ha a rang kisebb.}
\defi{homogén lineáris egyenletrendszer}
\tetel{$A_{n \times n}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ homogén lineáris egyenletrendszernek
végtelen sok megoldása van $\iff \det{A}=0$}
\tetel{Cramer-szabály (Biz nélk.)}
\end{section}

\begin{section}{Vektorterek}
\defi{lineáris tér (vektortér) a valós számok felett}
\defi{lineáris kombináció, lineárisan függő és független vektorrendszer}
\tetel{Egy vektorból álló vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független,
ha az nem a nullvektor. Minimum két vektorból álló rendszer akkor
és csak akkor lineárisan független, ha egyik sem fejezhető ki a többi
lineáris kombinációjával.}
\defi{generátorrendszer}
\defi{bázis (egyértelműen generálja $V$-t)}
\tetel{Egy vektorrendszer akkor és csak akkor bázis, ha maximális
lineárisan független rendszer.}
\tetel{Ha $V$ vektortérben van $n$ elemű bázis, akkor $V$ minden bázisa $n$ elemű.}
\defi{dimenzió}
\defi{$V$ vektortér $W$ altere (Olyan $W \subset V$, amelyre $W$ maga is vektortér)}
\tetel{$V$ lineáris tér $W$ részhalmaza pontosan akkor altér, ha zárt
a vektorok összeadására és a skalárral való szorzásra, azaz pontosan
akkor, ha elemeinek minden lineáris kombinációja is $W$-ben van.}
\defi{vektorterek izomorfiája}
\tetel{$V$ valós számok feletti $n$ dimenziós vektortér izomorf
$\Halm{R}^n$-nel azaz a valós szám-n-esek terével.}
\kov{Tetszőleges két valós számok feletti $n$ dimenziós vektortér
izomorf.}
\end{section}

\begin{section}{Valós vektorterek lineáris leképezései}
\defi{vektorterek lineáris leképezése}
\defi{izomorfizmus}
\tetel{Egy $A_{m\times n}$ mátrix egy $\Halm R^n \to \Halm R^m$
lineáris leképezést határoz meg (balról való mátrix-szorzással)}
\tetel{Legyen ${\cal A}: V \to W$ lineáris leképezés, valamint $e_1, e_2, \dots, e_n$
 és $f_1, f_2,\dots, f_m$ $V$ illetve $W$ bázisai. Ekkor $\exists$!$A_{m \times
 n}$ mátrix, hogy $\forall \V{v}\in V: {\cal A}(\V v)=A_{m \times
 n}\mathbf v$. Ez a mátrix az $A=[\Lek A(e_1), \Lek A(e_2), \dots,
\Lek A(e_n)]$}
\megj{Ekkor ${\cal A}$ azonos a mátrixa által meghatározott lineáris leképezéssel.}
\defi{Lineáris leképezések összege, szorzata (kompozíciója)}
\tetel{Ha az $\Lek A$ mátrixa $A$, $\Lek B$ mátrixa $B$, akkor $\Lek A
+ \Lek B$ mátrixa $A+B$, valamint $\Lek A \circ \Lek B$ mátrixa
$AB$. (Biz nélk.)}
\defi{${\cal A}: V \to W$ lineáris leképezés magtere, képtere}
\tetel{Ezek $V$, illetve $W$ alterei.}
\tetel{Dimenziótétel: $\dim \ker \Lek A + \dim \im \Lek A  = \dim V$, ahol
$\Lek A : V \to W$ lineáris leképezés.}
\tetel{Mátrix rangja megegyezik az általa meghatározott lineáris
leképezés képterének dimenziójával.}
\defi{injektív, szürjektív leképezések}
\tetel{Egy ${\cal A}: V \to W$ lineáris leképezés injektív
$\iff \ker \Lek A = \{\V 0\}$, szürjektív $\iff \im \Lek A
= W$}
\kov{Reguláris mátrix által meghatározott lineáris leképezés injektív.}
\end{section}

\begin{section}{Sajátérték, sajátvektor}
\defi{sajátérték, sajátvektor: egy $\V v$ vektort az $\Lek A$ lineáris
transzformáció $\lambda$ sajátértékéhez tartozó sajátvektornak
nevezünk, ha $\Lek A (\V v)=\lambda \V v$}
\tetel{Ha $\V v$ sajátvektor $\lambda$ sajátértékkel, akkor tetszőleges
$\alpha \in \Halm R$-re $\alpha \cdot \V v$ is sajátvektor, és ugyanaz a
$\lambda$ sajátérték tartozik hozzá.}
\tetel{Egy $A$ mátrixnak $\lambda$ sajátértéke $\iff |A-\lambda E|=0$
(Ez egy $n$-edfokú egyenlet $\lambda$-ra.)}
\defi{mátrix karakterisztikus polinomja}
\defi{Az $[a_{ij}]$ $n\times n$-es mátrix nyoma $\tr
A=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$ (a főátlóban álló elemek összege).}
\tetel{Egy $A$ mátrix (komplex) sajátértékeinek összege $=\tr A$ (Biz nélk.)}
\tetel{Egy $A$ mátrix (komplex) sajátértékeinek szorzata $=\det A$ (Biz nélk.)}
\end{section}

\begin{section}{Komplex számok}
\defi{komplex számok algebrai alakja}
\defi{komplex számok abszolútértéke, konjugáltja}
\defi{összeadás, szorzás, osztás algebrai alakban}
\tetel{Konjugálás művelettartó (additív és multiplikatív); $z\pm\Conj z$; $z\cdot\Conj z$.}
\tetel{Geometriai értelmezés, trigonometrikus alak egyértelműsége.}
\megj{Algebrai alak hatványozása}
\tetel{Trigonometrikus alakok szorzása, osztása.}
\kov{Moivre-képlet}
\defi{komplex $n$-dik gyök}
\tetel{Komplex gyökvonás: $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot\left( \cos \left ( \frac{\varphi}n +
\frac{2k\pi}n\right ) + i\sin\left(\frac{\varphi}n+\frac{2k\pi}n\right )
\right )$, $k=0, 1, \dots, n-1$.}
\defi{komplex $n$-dik egységgyökök}
\tetel{$\sqrt[n]{1}=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$, $k=0, 1, \dots, n-1$.}
\defi{$\varepsilon_k$ $n$-dik primitív egységgyök $\iff (k,n)=1$ }
\tetel{Primitív egységgyök ekvivalens definíciói. (Biz nélk)}
\end{section}

\end{document}
