\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[mathscr]{eucal}
%\usepackage{mathbbm}
%\usepackage{color}
%\usepackage{epic}
%\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphics}


\newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\Halm}[1]{\mathbf{#1}}

\newcommand{\mo}{{\bf Megoldás:}\\}
\newcommand{\adj}{\mathop{\mathrm{adj}}}

\newcommand{\V}{\underline}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\tr}{\mathop{\mathrm{tr}}}

\addtolength{\textwidth}{6cm}
\addtolength{\textheight}{7cm}
\setlength{\hoffset}{-3cm}
\setlength{\voffset}{-3.5cm}


\frenchspacing

\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE \bf Bevezetés a számításelméletbe (kieg.)}\\
{\bf Első pótzárthelyi, megoldások}\\
\end{center}
{\Large

\begin{enumerate}

\item Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
\setlength{\arraycolsep}{2 pt}
\[
\begin{array}{rrrrrrrl}
x & + & 2y & + & 3z & + & 4u= & 5\\
-1x & + & 2y & + & 3z & + & 5u= & 4\\
9x & + & 8y & + & 7z & + & 6u= & 5\\
-9x & + & 8y & + & 7z & + & 5u= & 6\\
\end{array}
\]

\mo
A Gauss elimináció lépéseit végezhetjük például az alábbi sorrendben:
Vonjuk ki az első sort a másodikból, a harmadikat az utolsóból. Adjuk 
hozzá a negyedik sorhoz a másodikat, majd az így kapott utolsó sort 
osszuk le $-20$-szal. Ennek a sornak a $9$-szeresét vonjuk le a 
harmadikból, kétszeresét adjuk a másodikhoz, végül vonjuk ki az elsőből. 
A második sor $6$-szorosát vonjuk le a harmadikból, $4$-szeresét az 
elsőből. Most az első sor négyszeresét a harmadikból vonjuk ki, majd 
$-5$-tel osszuk le. Végül a harmadik sor háromszorosát kell levonnunk 
az elsőből és az első sort $2$-vel leosztanunk, így megkapjuk a 
\[
\left( 
\begin{array}{llllr}
0 & 1 & 0 & 0 & -3\\
0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 5\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right) 
\]
mátrixot, tehát $x=0$, $y=-3$, $z=5$ és $u=-1$.

\item Írjuk fel az 
$\left( 
\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$ 
mátrix inverzét.

\mo
Inverz pontosan akkor létezik, ha $\det A\ne 0$, azaz a továbbiakban 
feltesszük, hogy $ad-bc\ne 0$.
$A^{-1}=\frac{\adj A}{\det A}$ összefüggést használva:
\[
A^{-1} = \frac{
\left(\begin{array}{rr}d&-b\\-c&a\end{array}\right)
}{ad-bc} = 
\left(\begin{array}{rr}
\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\
\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}
\end{array}\right)
\]

\item Legyen $A$ $n \times n$-es reguláris mátrix, $B$ $n \times n$-es 
mátrix, amelyekre teljesül, hogy $A \cdot B = 0$ ($0$ az $n \times n$-es 
csupa nulla mátrixot jelöli). Igazoljuk, hogy ekkor $B=0$.

\mo
$A$ reguláris, azaz $\exists A^{-1}$. Ezzel balról beszorozva a fenti 
egyenletet: $B = A^{-1}0 = 0$, amint állítottuk.

\item Igazoljuk, hogy ha egy mátrixban a sorok lineárisan függetlenek,
és az oszlopok is lineárisan függetlenek, akkor négyzetes mátrixról
van szó.

\mo
A lineárisan független oszlopok maximális száma ez esetben $A$ összes 
oszlopainak a száma, ami éppen $A$ rangja.
Ugyanakkor a lineárisan független sorok maximális száma is egyenlő az 
$A$ sorainak számával, másrészt $A$ rangjával is. Következésképpen $A$ 
oszlopai és sorai ugyanannyian vannak.

\end{enumerate}

}

\begin{center}
{\bf Második pótzárthelyi, megoldások}\\
\end{center}
{\Large

\begin{enumerate}
\item Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok körében:
\[
z^3|z|^3=64i
\]

\mo
Trigonometrikus alakban írjuk fel $z$-t: $z = r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$. 
Az egyenlet ezzel az $r^6(\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi) = 64i$ alakot 
ölti. A két oldal abszolútértékének megegyezéséből következik, hogy 
$r^6 = 64$, azaz $r = 2$. Az argumentumok egyezéséből pedig:
$3\varphi = \frac{\pi}{2}+2k\pi$, innen három különböző megoldás a 
$\varphi = \frac{\pi}{6}$, a $\varphi = \frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}\pi = 
\frac{5}{6}\pi$ és a $\varphi = \frac{\pi}{6}+\frac{4}{3}\pi = 
\frac{3}{2}\pi$. A három megoldás algebrai alakban $\sqrt{3}+i$, 
$-\sqrt{3}+i$ és $-2i$.

\item Legyenek a $G_n$ gráf pontjai az n hosszú 0-1 sorozatok. Két pont
akkor legyen szomszédos, ha a nekik megfelelő sorozatok pontsan egy helyen
térnek el egymástól (például az $n=4$ esetben a $(0,0,0,1)$ és a
$(0,1,0,1)$ szomszédosak). Milyen $n$-ekre van a $G_n$ gráfnak Euler-köre?

\mo
Látható, hogy minden pont foka $n$, hiszen pontosan ennyi helyen különbözhet 
tőle egy koordinátában pont. Így tehát pontosan akkor van a gráfnak Euler 
köre, ha $n$ páros.

\item Határozzuk meg az alábbi PERT diagram által megadott folyamat
elvégzéséhez minimálisan szükséges időt és a kritikus uta(ka)t:
\begin{center}
\includegraphics{potzhpert.eps}
\end{center}

\mo
A legkorábbi elkezdési idők a pontok feldolgozási sorrendjében:
S: 0, A: 2, F: 3, G: 4, B: 4, D: 5, H: 5, E: 8, C: 11, T:15. 
Kritikus út: SFECT.

\item Hány hatra végződő néggyel osztható ötjegyű szám van?

\mo
Egy szám pontosan akkor osztható $4$-gyel, ha az utolsó két számjegyéből 
alkotott szám osztható $4$-gyel. A $6$-ra végződő számok közül ezt $5$ darab 
teljesíti. Az utolsó előtti helyre tehát $5$ féle szám kerülhet. Az első 
helyre $9$ ($0$ nem állhat ott), a második és harmadikra $10$-$10$, azaz 
összesen $9\cdot10^2\cdot 5 = 4500$.

\end{enumerate}


Minden feladat 10 pontot ér. Részeredményekért is jár pont, 
bizonyítás nélküli eredményközlésért azonban nem. Értékelés: 
0--15: 1; 16--21: 2; 22--27: 3; 28--33: 4; 34--40: 5. 
A feladatok \emph{nem} nehézségi sorrendben vannak.

}
\end{document}










