\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[mathscr]{eucal}


\newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\Halm}[1]{\mathbbm{#1}}

\newcommand{\V}{\underline}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\tr}{\mathop{\mathrm{tr}}}

\addtolength{\textwidth}{5cm}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\setlength{\hoffset}{-2.5cm}
\setlength{\voffset}{-3cm}


\frenchspacing

\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE \bf Bevezetés a számításelméletbe (kieg.)}\\
{\bf Első zárthelyi, 2001. 11. 08.}
\end{center}
\Large


\begin{enumerate}

\item Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:

\[ 
\begin{array}{rcl}
x+2y+5w&=&5\\
4x+2y+6w&=&12\\
5x+y+z+4w&=&16\\
2x+y+z+3w&=&9
\end{array}
\]

\item Egy adott $100 \times 100$-as valós elemű mátrixban tetszőleges számú
elem helyére általunk választott számokat írhatunk. Legkevesebb hány elem
módosításával tudjuk elérni, hogy a keletkező determináns 0 legyen?

\item Mennyi a rangja az alábbi mátrixnak?
\[ \left (
\begin{array}{rrrr}
4&1&3&2\\
5&5&3&1\\
6&4&2&0\\
0&0&1&1
\end{array}
\right ) \]


\item Mennyi az $A_{n \times n}$ mátrix determinánsa, ha
$A[i,i-1]=A[i,i]=A[i,i+1]=1$, minden további eleme pedig nulla?

\item 
\begin{enumerate}
\item Bizonyítsuk be, hogy ha $A$ és $B$ valós mátrixok összeszorozhatóak,
akkor $(AB)^T=B^{T}A^T$.
\item Egy $A$ valós négyzetes mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha
$AA^T=E$. Bizonyítsuk be, hogy ortogonális mátrix transzponáltja is
ortogonális.
\end{enumerate}

\item Igazoljuk, hogy ha az $\V u_1, \V u_2, \dots, \V u_m$ vektorok
között \emph{pontosan} egy van, amely lineárisan függ a többi
$m-1$-től, akkor ez szükségképpen a nullvektor.

\item (pluszfeladat) Legyen $A$ olyan négyzetes mátrix, amely felírható 
\[ 
T^{-1}\left (
\begin{array}{rrr}
d_1&&0\\
&\ddots&\\
0&&d_k
\end{array} \right ) T \]
 alakban, $p(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0$
pedig tetszőleges valós együtthatós polinom. Az $A$ mátrix polinomba való
behelyettesítését úgy értelmezzük, hogy
$p(A)=a_{n}A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\ldots+a_{0}E$. Bizonyítsuk be, hogy \[p(A)=T^{-1}\left (
\begin{array}{rrr}
p(d_1)&&0\\
&\ddots&\\
0&&p(d_k)
\end{array} \right ) T\]
\end{enumerate}

Minden feladat 10 pontot ér, 100 \%-os teljesítményhez 60 pontot kell
elérni. Részeredményekért is jár pont, bizonyítás nélküli eredményközlésért
azonban nem. Ponthatárok: 0--23: 1; 24--32: 2; 33--42: 3; 43--51: 4; 52--60+: 5.


\end{document}










