\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[mathscr]{eucal}
%\usepackage{mathbbm}
\usepackage{color}
\usepackage{epic}
\usepackage{amssymb}


\newcommand{\Conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\Halm}[1]{\mathbf{#1}}

\newcommand{\V}{\underline}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\tr}{\mathop{\mathrm{tr}}}

\addtolength{\textwidth}{6cm}
\addtolength{\textheight}{7cm}
\setlength{\hoffset}{-3cm}
\setlength{\voffset}{-3.5cm}


\frenchspacing

\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE \bf Bevezetés a számításelméletbe (kieg.)}\\
{\bf Második zárthelyi, 2001. 12. 11.}\\
{\bf $\aleph$ csoport}
\end{center}
{\Large

\begin{enumerate}

\item Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok körében:
\[ 
z^2=i|z|
\]

\item Öt ismerős házaspár mindkét tagjának két-két különböző képeslapot
szeretnénk küldeni úgy, hogy családon belül se legyen ismétlődés. (Összesen
tehát húsz lapot küldünk ki.) Hányféleképpen tehetjük meg ezt, ha $k$ féle
képeslap van és mindegyikből elegendően sok áll rendelkezésre?

\item Hogy néz ki az a lehető legkevesebb csúcsot tartalmazó egyszerű gráf,
amelyben minden csúcs fokszáma 3 és a legrövidebb kör pontosan 4 hosszú?
(Több nem izomorf van, elegendő csak egyet felrajzolni [és rábizonyítani].)

\item Írjuk fel az $\Halm R^3$ szokásos bázisában a mátrixát annak a
lineáris transzformációnak, amely a következőképpen hat: először a Z irányú
egységvektor körül (jobbkézszabály szerint) $\varphi$ szöggel forgat, majd
az XZ koordinátasíkra tükröz.

\item Mennyi a maximális $s \rightarrow t$ folyam az alábbi gráfban:
\begin{center}
\input{./zh2foly.epic}
\end{center}
\item Bizonyítsuk be, hogy egy $A: V \rightarrow V$ lineáris
transzformációra az alábbi feltételek ekvivalensek:
\begin{enumerate}
\item Minden vektor előáll képként.
\item Tetszőleges két különböző vektor képe is különböző.
\end{enumerate}

\item Van-e Euler, illetve Hamilton útja, illetve köre az alábbi gráfnak?

\begin{center}
\input{./zh2euham.epic}
\end{center}

\end{enumerate}

Minden feladat 10 pontot ér, 100 \%-os teljesítményhez 60 pontot kell
elérni. Részeredményekért is jár pont, bizonyítás nélküli eredményközlésért
azonban nem. Ponthatárok: 0--23: 1; 24--32: 2; 33--42: 3; 43--51: 4;
52--60+: 5. A feladatok \emph{nem} nehézségi sorrendben vannak.

}

\newpage

\begin{center}
{\LARGE \bf Bevezetés a számításelméletbe (kieg.)}\\
{\bf Második zárthelyi, 2001. 12. 11.}\\
{\bf $\beth$ csoport}
\end{center}
\Large

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg az alábbi PERT diagramra a folyamat befejezésének
legkorábbi idejét és a kritikus uta(ka)t:

\begin{center}
\input{./zh2pert.epic}
\end{center}

\item Bizonyítsuk be, hogy egy $A: V \rightarrow V$ lineáris
transzformációra az alábbi feltételek ekvivalensek:
\begin{enumerate}
\item Minden vektor előáll képként.
\item Tetszőleges két különböző vektor képe is különböző.
\end{enumerate}

\item Írjuk fel az $\Halm R^3$ szokásos bázisában a mátrixát annak a
lineáris transzformációnak, amely a következőképpen hat: először a Z irányú
egységvektor körül (jobbkézszabály szerint) $\varphi$ szöggel forgat, majd
az XZ koordinátasíkra tükröz.

\item Hogy néz ki az a lehető legkevesebb csúcsot tartalmazó egyszerű gráf,
amelyben minden csúcs fokszáma 3 és a legrövidebb kör pontosan 4 hosszú?
(Több nem izomorf van, elegendő csak egyet felrajzolni [és rábizonyítani].)

\item Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok körében:
\[ 
z^2=i|z|
\]


\item Van-e Euler, illetve Hamilton útja, illetve köre az alábbi gráfnak?

\begin{center}
\input{./zh2euham.epic}
\end{center}

\item Öt ismerős házaspár mindkét tagjának két-két különböző képeslapot
szeretnénk küldeni úgy, hogy családon belül se legyen ismétlődés. (Összesen
tehát húsz lapot küldünk ki.) Hányféleképpen tehetjük meg ezt, ha $k$ féle
képeslap van és mindegyikből elegendően sok áll rendelkezésre?

\end{enumerate}

Minden feladat 10 pontot ér, 100 \%-os teljesítményhez 60 pontot kell
elérni. Részeredményekért is jár pont, bizonyítás nélküli eredményközlésért
azonban nem. Ponthatárok: 0--23: 1; 24--32: 2; 33--42: 3; 43--51: 4;
52--60+: 5. A feladatok \emph{nem} nehézségi sorrendben vannak.




\end{document}










