\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
1. gyakorlat: Kombinatorika, komplex számok bevezetés}
\end{center}

% ------ Leszámlálási módszerek -------
% ,,független'' kimenetelek száma szorzódik
% nem számít a sorrend => osszunk le vele
% hat leszámlálási alaptípus
% kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés => számosság egyenlő
% komplementer számolása

\begin{enumerate}

\item 
Hányféle zászló készíthető piros, fehér és zöld színekből, ha egy 
szín csak egyszer szerepelhet és a zászló színezése három egyenlő 
szélességű vízszintes sávban történik?

\item
Hányféle lehet egy $n$ fős futóverseny első 3 helyezése?


\item
Hány $k$ elemű részhalmaza van egy $n$ elemű halmaznak?

\item
Hány  részhalmaza van egy $n$ elemű halmaznak?

\item
Bizonyítsuk be, hogy $\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=0$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy
\begin{enumerate}
\item $\binom nk = \binom n{n-k}$ és 
\item $\binom {n-1}k + \binom{n-1}{k-1} = \binom nk$.
\end{enumerate}

\item
Hányféleképp oszthatunk ki $n$ ember között $k$ darab egyforma tárgyat, ha
\begin{enumerate}
\item mindenki kap legalább egyet;
\item \hfa nem feltétlenül kap mindenki?
\end{enumerate}

\item \hf
Bizonyítsuk be a polinomiális tételt:
\[
(a_1+\dots+a_k)^n=
\sum_{\stackrel{\scriptstyle i_1,\dots,i_k}{i_1+\dots+i_k=n}}
\frac{n!}{i_1!\dots i_k!} a_1^{i_1}\dots a_k^{i_k}.
\]

\item
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy $n\ge1$ egész számra
\begin{enumerate}
\item $1+3+\dots+(2n-1)=n^2$ és
\item \hfa $\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}3$.
\end{enumerate}

\item
Mutassuk meg, hogy az alábbi $F$ halmazok a megadott műveletekkel testet 
alkotnak.
\begin{enumerate}
\item $F=\{ a+b\sqrt { 2} | a,b\in\Q\}$, ahol $\Q$ a racionális számok halmaza,
a műveletek a valós számoknál megszokottak;
\item $F=\{0,1,2,\dots,p-1\}$, ahol $p$ prímszám és a szorzást és az 
összeadást úgy értelmezzük, mint az egész számok körében, csak vesszük az 
eredmény $p$-vel való osztási maradékát.
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg az alábbi komplex számok algebrai alakját!
\begin{enumerate}
\item $(3-4i)(7+8i)$
\item $\frac{3-4i}{2-i}$
\item $i^{1994}$
\item $(1+i)^9$
\end{enumerate}

\item
Mi a mértani helye a síkon azoknak a pontoknak, amelyeknek megfelelő
$z$ komplex számokra:
\begin{enumerate}
\item $|z-5+i|=2$
\item $|z-i|=|z+i|$
\item $\left|\frac{z-3+4i}{z-i}\right|\geq 1$
\item $|z|=3iz$
\item $z+\overline z<4$
\item \hfa $2z+5=2\overline z$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
