\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
2. gyakorlat: Komplex számok}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Hat\'arozzuk meg az $\frac{(1+2001i)^{2001}}{(1-2001i)^{2001}}$ komplex sz\'am
abszol\'ut \'ert\'ek\'et!

\item
%\begin{enumerate}
%\item 
Sz\'am\'\i tsuk ki a $16-30i$ komplex sz\'am n\'egyzetgy\"okeit!
%\item Bizony\'\i tsuk be, hogy a komplex sz\'amok k\"or\'eben minden 
%sz\'amb\'ol lehet n\'egyzetgy\"ok\"ot vonni!
%\end{enumerate}

\item
Oldjuk meg az al\'abbi egyenleteket a komplex sz\'amok halmaz\'an:
\begin{enumerate}
\item $z^2+1=0$
\item $z^2=-12$
\item $z^2+3z+4=0$
\item $z^2=i$
\item \hfa $z^2+2iz+1+i=0$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Mi a geometriai jelent\'ese annak, hogy egy komplex sz\'amot megszorzunk
$(1+i)$-vel?
\item Mi a geometriai jelent\'ese annak, hogy egy komplex sz\'amnak vessz\"uk
a reciprok\'at!
\end{enumerate}

\item
Hozzuk trigonometrikus alakra:
\begin{enumerate}
\item $-8$
\item $-\frac{\sqrt 3}2+\frac12i$
\item $1-i\tg(\alpha)$
\item \hfa $\sin12^{\circ}-i\cos12^{\circ}$
\end{enumerate}

\item
Sz\'am\'\i tsuk ki
\begin{enumerate}
\item a $(-\sqrt 3 +i)^{-9}$ komplex sz\'am \'ert\'ek\'et \'es hozzuk az eredm\'enyt
algebrai alakra!
\item $-243i$ \"osszes \"ot\"odik gy\"ok\'et trigonometrikus alakban!
\item a $z^6-z^3+1-i=0$ egyenlet \"oszes megold\'as\'at!
\item a $\overline {z}=z^n$ ($n\in \N$ paraméter) \"osszes megold\'as\'at!
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Tetsz\H oleges $n$ term\'eszetes sz\'amra sz\'am\'\i tsuk ki z\'art
alakban az $(1+i)^n$ \'ert\'ek\'et!
\item Adjuk meg z\'art alakban az 
$\binom n0-\binom n2+\binom n4-\binom n6+\dots$ 
\"osszeg \'ert\'ek\'et!
\item \hfa 
Adjunk k\'epletet $\cos(nx)$-re $\cos(x)$ \'es $\sin(x)$ f\"uggv\'eny\'eben!
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg $\C\to\C$ f\"uggv\'enyk\'ent (a szok\'asos algebrai m\H uveletek
\'es a konjug\'al\'as seg\'\i ts\'eg\'evel) az al\'abbi s\'\i ktranszform\'aci\'okat!
\begin{enumerate}
\item orig\'o k\"or\"uli $\alpha $ sz\"og\H u forgat\'as!
\item $1+i$ k\"or\"uli $60^{\circ}$-os forgat\'as!
\item Az $x$ illetve az $y$ tengelyre val\'o t\"ukr\"oz\'es!
\item Az orig\'on \'es a $2i+1$ ponton \'atmen\H o tengelyre val\'o t\"ukr\"oz\'es.
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg annak a n\'egyzetnek a m\'asik k\'et cs\'ucs\'at, melynek
k\'et \'atellenes cs\'ucs\'at k\'et adott komplex sz\'am $z_1$ \'es
$z_2$ alkotj\'ak!

\item
Legyen $\{\varepsilon_1,...,\varepsilon _n\}$ az $n$-edik egys\'eggy\"ok\"ok
halmaza adott $n\geq 1$-re. Sz\'am\'\i tsuk ki:
\begin{enumerate}
\item $\sum_{j=1}^n \varepsilon_j$
\item $\prod_{j=1}^n \varepsilon_j$
\item \hfa $\sum_{j=1}^n \varepsilon_j^k$, ahol $k\in \N$
\end{enumerate}

\item
Tegy\"uk fel, hogy k\'et egys\'eggy\"ok \"osszege egys\'egnyi hossz\'us\'ag\'u!\
\begin{enumerate}
\item Milyen sz\"oget z\'arnak be egym\'assal?
\item Mutassuk meg, hogy az \"osszeg is egys\'eggy\"ok!
\end{enumerate}



\end{enumerate}
\end{document}

