\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
3. gyakorlat: Polinomok}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item Osszuk el maradékosan az $x^5-2x^2+4$ polinomot
\begin{enumerate}
\item $x+1$-gyel,
\item $(x+1)^2$-nel,
\item $(x^2-1)$-gyel!
\end{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha egy $f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$
egészegyütthatós polinomnak $\frac pq$ gyöke,
ahol $p,q\in\Z$ és $\lnko(p,q)=1$, akkor $p\mid a_0$ és $q\mid a_n$.

\item \hf Lássuk be, hogy $(x-\alpha)^k$ pontosan akkor osztója a $p(x)$
polinomnak, ha $p^{(j)}(\alpha)=0$ minden $j=0,1,\dots,k-1$-re, ahol $p^{(j)}$ 
$p$ polinom $j$.~deriváltja.

\item
Keressük meg az alábbi polinomok összes gyökét! Bontsuk fel a polinomokat 
irreducíbilis polinomok szorzatára $\C[x]$-ben, $\R[x]$-ben és $\Q[x]$-ben!
\begin{enumerate}
\item $2x^6+x^5-5x^4-2x^3-4x^2-3x+3$
\item $x^5+1$
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg az alábbi polinomok gyöktényezős alakját!
\begin{enumerate}
\item $x^3-1$
\item $x^2+x+1$
\item $x^n-1$
\item $x^n+1$
\item \hf $x^{2n}-x^{2n-1}+\dots+x^2-x+1$
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg azt a legalacsonyabb fokú 1 főegyütthatós
\begin{enumerate}
\item komplex együtthatós,
\item valós együtthatós
\end{enumerate}
polinomot, amelynek $i$ kétszeres, $1$ háromszoros gyöke!

\item
Egy $\varepsilon$ egységyök {\bf rendje} $n$, ha $\varepsilon^n=1$ és $n$ 
a legkisebb ilyen pozitív egész szám. Ezt $o(\varepsilon)=n$-nel jelöljük.
\begin{enumerate}
\item Bizonyítsuk be, hogy ha $o(\varepsilon)=n$, akkor 
$o(\varepsilon^k)=\frac n{\lnko(n,k)}$.
\item \hfa Határozzuk meg a primitív $n$-edik egységgyökök számát!
\item \hfa Mutassuk meg, hogy ha $\lnko(k,l)=1$, akkor egy primitív $k$-adik 
és egy primitív $l$-edik egységgyök szorzata primitív $kl$-edik egységgyök!
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg azt a legalacsonyabb fokú $p(x)$ polinomot, amelyre
$p(x_k)=y_k$ ($k=1,2,3,4$), ahol 
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x_k & -1 & 0 & 1 & 2\\
\hline
y_k & +10 & -5 & 0 & 5
\end{array}
\]
Bontsuk fel a polinomot gyöktényezők szorzatára! Számítsuk ki a 
gyökök összegét és szorzatát!


\item
Bizonyítsuk be, hogy  ha $F$ véges test, akkor minden
$f\colon F\to F $ függvény megadható polinommal!


\end{enumerate}
\end{document}

