\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
4. gyakorlat: Elemi műveletek mátrixokkal, determináns, 
lineáris egyenletrendszer}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Legyenek megadva az alábbi mátrixok:

$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&2&3\\
2&3&4\\
3&4&5
\end{array}
\right)$,
$B=\left(
\begin{array}{ccc}
-1&-2&-3
\end{array}
\right)$,
$C=\left(
\begin{array}{c}
-1\\
2\\
3
\end{array}
\right)$,
$D=\left(
\begin{array}{cc}
-1& 2+i\\
2 & 3-i\\
3 & 4i 
\end{array}
\right)$.

Végezzük el az alábbi műveletek közül azokat, amelyek értelmesek:
$A+A$, $A+B$, $AB$, $AC$, $AC+2C$, $CBC$, $D^2$, $\overline DD^T$.

\item
Legyen $n>1$ és keressünk olyan $n\times n$-es $A,B,C$ valós mátrixokat, 
amelyekre:
\begin{enumerate}
\item van olyan $k$ természetes szám, hogy $A^k=E,$ de $A\not \in \{E,-E\}$;
\item van olyan $k$ természetes szám, hogy $B^k=0,$ de $B\ne 0$;
\item \hfa $C^2=C$, de $C\ne 0$ és $C\ne E$.
\end{enumerate}

\item
Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges $n\times n$-es mátrixok. 
Bizonyítsuk be, hogy az $AB-BA$ mátrix főátlójában az elemek
összege 0!

\item
Számítsuk ki a következő mátrixok determinánsát és inverzét:
\begin{enumerate}
\item $\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
2 & 0 & 2 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right)$,
\item \hfa $\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1\\
-1& 1 & 0 & 0\\
2 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)$.
\end{enumerate}

\item
Lássuk be, hogy egy egész elemű mátrix inverze pontosan akkor
egész elemű, ha a mátrix determinánsa $+1$ vagy $-1$.

\item
Adjuk meg a következő egyenletrendszerek összes megoldását:

a) $\begin{array}{ccc}
	x+2y-z & = & 2 \\
        x-y+2z & = & 7 \\
        x - z  & = &-2 \\
        2x+y+z & = & 7
   \end{array}$
b) $\begin{array}{ccc}
	x+y+z    & = & 4 \\
        -x+y-z   & = & 2 \\
        2x+y+2z  & = & 1 \\
        4x+4y+4z & = & 1 
   \end{array}$\hskip 1 cm
$\bullet$ c) $\begin{array}{ccc}
	7x+14y-21z & = & 7 \\
        x+2y-3z    & = & 1 \\
        5x+10y+15z & = & 5 \\
        3x+6y-9z   & = & 3
   \end{array}$.


\item
Az $a$ és $b$ értékétől függően hány megoldása van az
alábbi egyenletrendszernek?
$\begin{array}{ccc}
	2x+y+z & = & 4 \\
	x+2y-z & = &-3 \\
        x-y+2z & = & a \\
        x+by+z & = & 3
   \end{array}$

\item
Legyen adva egy $k$ egyenletből és $n$ ismeretlenből álló racionális
együtthatós lineáris egyenletrendszer! Döntsük el, melyek igazak az alábbi
következtetések közül:
\begin{enumerate}
\item Ha $k\leq n$, akkor az egyenletrenszernek van megoldása.
\item Ha $k>n$, akkor az egyenletnek nincs megoldása.
\item Ha $k<n$ és az egyenletrendszernek van megoldása, akkor végtelen sok 
megoldása is van.
\item Ha $k>n$ és az egyenletrendszernek van megoldása, akkor csak egy  
megoldása van.
\item Ha létezik valós megoldás, akkor létezik (csupa) racionális
megoldás is.
\item Ha bármely $k-1$ egyenletet kiválasztva az így kapott egyenletrendszernek
van megoldása, akkor az eredetinek is van megoldása.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}

