\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
5. gyakorlat: Mátrixegyenletek, determináns számolás}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Igazoljuk, hogy diagonális mátrixok szorzata diagonális,
felső háromszög mátrixoké felső háromszög!
\item Mikor invertálható egy diagonális mátrix és mi az inverze?
\item Mikor invertálható egy felső háromszög mátrix?
Mutassuk meg, hogy ez is felső háromszög mátrix!
\end{enumerate}

\item Legyenek $A$ és $B$ $n \times n$-es felcserélhető mátrixok 
(azaz $AB=BA$), és legyen $A$ invertálható is. Bizonyítsuk be, hogy ekkor 
$A^{-1}$ és $B$ is felcserélhetők!

\item Az $n\times n$-es $A$ és $B$ mátrixokra teljesül, hogy $AB=A$ és 
$BA=B$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $A^2=A$ és $B^2=B$!

\item Az $n \times n$-es $A$ mátrixra teljesül, hogy $A^2+A+E=0$. 
($0$ a csupa nulla elemből álló mátrixot jelöli.) Igazoljuk, hogy az $A$ 
mátrixnak létezik inverze. 

\item Az $n \times n$-es $A$ mátrix minden eleme páros szám, $64 \mid \det A$, de $128  \not | \, \, \det A$. Mekkora lehet $n$?
\item Számítsuk ki az alábbi determinánsokat! A mátrixok $n\times n$-esek; a nem jelzett elemek értéke 0; $a, b, c$ paraméterek.

\begin{enumerate}
\item $A[i,i]=1$
\item $A[i,i]=c$
\item $A[i,i]=A[i,i+1]=A[n,1]=1$, $n=2k$
\item $A[i,j]=i+j-1$
\item $A[i,j]=(i+j-1)^2$
\item $A[i,j]=\min \{ i,j \}$
\item $A[i,j]=\binom{i+j-1}{i-1}$
\item $A[i,i]=2$, $A[i,j]=1$
\item $A[i,i]=a$, $A[i,j]=b$
\item $A[i,j]=\left | i-j \right |$
\item $A[i,j : i+j \leq n+1]=A[n,n]=1$
\item $A[i,i-1]=A[i,i+1]=1$, $A[i,i]=2$
\item $A[i,i-1]=A[i,i+1]=-1$, $A[i,i]=1$
\end{enumerate}

\item Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert!
\setlength{\arraycolsep}{2 pt}
\[
\begin{array}{rrrrrrrl}
x_1&+ & x_2 & + & \dots &+ & x_n=&n\\
x_1&+ & 2x_2& + & \dots &+ & nx_n=&n^2\\
x_1&+ & 4x_2& + & \dots &+ & n^2x_n=&n^3\\
\dots \\
x_1&+ & 2^{n-1}x_2 & + & \dots& + & n^{n-1}x_n=&n^n
\end{array}
\]


\end{enumerate}
\end{document}

