\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
6. gyakorlat: Lineáris függetlenség, dimenzió, rang}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item \hf
Mutassuk meg, hogy az alábbiak $\R$ feletti vektorteret alkotnak és adjunk 
meg bennük egy bázist!
\begin{enumerate}
\item $n\times n$-es valós szimmetrikus mátrixok;
\item valós együtthatós legfeljebb $n$-edfokú polinomok;
\item valós függvények 
(tehát $V=\left\{f\colon\R\to\R\text{ függvény}\right\}$).
\end{enumerate}

\item
Mely $\R$ feletti vektorterek izomorfak az $\R^6$, $\R^{3\times2}$ és $\C^3$ 
lineáris terek közül?

\item Igaz-e a következő állítás: Ha $\ve{u}_1, \ve{u}_2, \dots,
\ve{u}_{100}$ lineárisan összefüggő, akkor $\ve{u}_1 + \ve{u}_2, \ve{u}_3, \dots,
\ve{u}_{100}$ is lineárisan összefüggő. (Ha igen, bizonyítsuk be, ha nem,
adjunk ellenpéldát!)


\item 
Tegyük fel, hogy $\ve v_1, \ve v_2, \ve v_3$ lineárisan független, de
$\ve v_1, \ve v_2, \ve u$ is, $\ve v_1, \ve v_3, \ve u$ is, és $\ve v_2,
\ve v_3, \ve u$ is lineárisan összefüggőek. Határozzuk meg az $\ve u$
vektort.

\item Igazoljuk, hogy ha az $\ve u_1, \ve u_2, \dots, \ve u_m$ vektorok
között \emph{pontosan} egy van, amely lineárisan függ a többi
$m-1$-től, akkor ez szükségképpen a nullvektor.

\item 
Igaz-e a következő állítás: Ha az $\Lek A$ lineáris leképezés
$V_1$-ből $V_2$-be, és $\Lek A \ve u_1, \Lek A \ve u_2,\dots,  \Lek A \ve
u_k$ generátorrendszer $\im \Lek A$-ban, akkor $\ve u_1, \ve u_2, \dots,
\ve u_k$ generátorrendszer $V_1$-ben. (Ha igen, bizonyítsuk be, 
ha nem, adjunk ellenpéldát!)  

\item \hf
Legyenek $\ve v_1, \ve v_2, \dots, \ve v_n$ lineárisan független 
vektorok! Adjuk meg a $c$ paraméter összes olyan valós értékét, melyre 
$\ve v_1-\ve v_2, \ve v_2-\ve v_3, \dots, \ve v_{n-1}-\ve v_n, 
\ve v_n-c\ve v_1$ vektorok lineárisan függetlenek!

\item A valós számok feletti $V$ vektortérnek egy bázisát alkotják a
$\ve v_1, \ve v_2, \dots, \ve v_n$ vektorok. Legyen 
\begin{eqnarray*}
\ve b_1&=&\alpha \ve v_1 +  \ve v_2 + \dots + \ve v_n\\ 
\ve b_2&=&\ve v_1 + \alpha  \ve v_2 + \dots + \ve v_n\\
\dots\\ 
\ve b_n&=&\ve v_1 + \ve v_2 + \dots + \alpha \ve v_n
\end{eqnarray*}
Az $\alpha$ paraméter mely valós értékeire lesz 
$\ve b_1, \ve b_2, \dots, \ve b_n$ szintén bázisa a $V$ vektortérnek?

%\item Mennyi egy olyan mátrix rangja, amelynek minden sorában
%különböző hányadosú nem nulla mértani sorozat áll?

\item Mennyi lehet egy olyan mátrix rangja, amelynek minden sorában
egy-egy számtani sorozat áll?

\item \hf
Mutassuk meg, hogy ha egy mátrixban a sorok lineárisan függetlenek,
és az oszlopok is lineárisan függetlenek, akkor négyzetes mátrixról
van szó.

\item Bizonyítsuk be, hogy egy $k$ egyenletet és $n$ ismeretlent
tartalmazó $A\ve x=\ve 0$ homogén lineáris egyenletrendszer összes valós
megoldásai alteret alkotnak $\mathbf{R}^n$-ben. Mennyi az altér
dimenziója, ha az $A$ együtthatómátrix rangja $r$?

\item Legyen az $A \ve x=\ve b$ egyenletrendszer egy megoldása $\ve
x'$. Bizonyítsuk be, hogy az összes megoldást az $\ve x' + \ve x^*$
képlettel kapjuk, ahol $\ve x^*$ végigfut az $A\ve x=\ve 0$ homogén
egyenletrendszer összes megoldásán. 

\end{enumerate}
\end{document}

