\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
7. gyakorlat: Koordinátázás (és egy kis geometria)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
Írjuk fel az alábbi lineáris leképezések mátrixát a megadott bázispárban! 
Határozzuk meg a magterüket, a képterüket és azok dimenzióját!
\begin{enumerate}
\item a sík $\alpha$ szögű elforgatása az origó körül (a bázis mindkét 
térben $\{ (1,0)^T , (0,1)^T\}$);
\item a sík $\alpha$ szögű elforgatása az origó körül (a bázis mindkét 
térben $\{ (1,0)^T, (\cos\alpha,\sin\alpha)^T\}$);
\item a legfeljebb $n$-edfokú valós polinomok terén a deriválás 
(a bázis $\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$);
\item $A\colon\R^3\to \R^2$, $A\colon(a,b,c)^T\mapsto(a+b,2a-c)^T$ 
(a standard bázisokkal);
\item \hfa $\R^2$ pontjainak merőleges vetítése egy origón átmenő 
$\alpha$ irányszögű egyenesre;
\item $\R^3$ pontjainak $\sqrt3\,x+y=0$ síkra való tükrözése;
\item $\R^3$ pontjainak $x-z=0$ síkra való tükrözése
\item $\R^3$ pontjainak $\sqrt3\,x+y=0$ síkra való tükrözése, utána a kép 
$x-z=0$ síkra való tükrözése. Számoljuk ki ezt arra az esetre is, ha a 
leképezéseket fordított sorrendben alkalmazzuk.
\end{enumerate}

\item
Legyen $B=\{\ve b_1,\ve b_2\}$ bázis $V$ valós vektortérben. Ekkor nyilván
$C=\{\ve c_1 = \ve b_1+\ve b_2,\ve c_2 = \ve b_1-\ve b_2\}$ is bázis. 
\begin{enumerate}
\item Ha $\ve u=\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right]_C$, akkor 
számoljuk ki az $[\ve u]_B$ koordinátákat. 
\item \hfa Ha $\ve w=\left[\begin{array}{c}3\\-2\end{array}\right]_B$, akkor 
számoljuk ki a $[\ve w]_C$ koordinátákat.
\end{enumerate}
Legyen $A$ az a lineáris leképezés, amelyre $A\ve b_1=3\ve b_1-\ve b_2$ és
$A\ve b_2=-\ve b_1-\ve b_2$. Írjuk fel $A$ mátrixát előbb $B$, utána $C$ 
bázisban.

\item  Legyen $V$ az $f(x)=a+b\,\sin x+c\,\sin^2 x$ alakú függvények lineáris 
tere ($a,b,c\in\R$).
\begin{enumerate}
\item Igazoljuk, hogy $\{1, \sin x, \sin^2 x\}$ a $V$ egy bázisa.
\item Bizonyítsuk be, hogy $1$, $\sin x$, $\cos 2\,x$
is bázisa $V$-nek és adjuk meg az első bázisról a másodikra való áttérés 
transzformációjának mátrixát.
\end{enumerate}

\item
Adjunk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát $\R^3$ standard 
bázisában, amelyre teljesül
$A\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}4\\1\\-3\end{array}\right)~~~~~
A\left(\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}1\\3\\-1\end{array}\right)~~~~~
A\left(\begin{array}{c}0\\-1\\-1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)$.

\item \hf
Van-e $V=\R^2$ esetén olyan $A\in\Hom(V)$, amelynek két különböző 
bázisban a mátrixa 
$\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 1&1\end{array}\right)$ illetve
$\left(\begin{array}{rr}2&0\\ 0&0\end{array} \right)$?


\item 
Az $xy+z=0$ felületet mibe viszi az a lineáris transzformáció,
amelynek mátrixa
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
1&1&0\\
0&0&1\\
\end{array}\right).
\]
Forgasssuk el $\alpha$ szöggel a standard bázis elemeit a $z$
tengely körül. Mi lesz az $xy+z=0$ felület egyenlete az új bázisban?


\item
Hozzuk kanonikus alakra a $8y^2+6xy+6x-2y+1=0$ másodrendű görbe egyenletét,
ábrázoljuk a görbét és az új koordinátarendszer tengelyeit az eredeti 
koordinátarendszerben.

\end{enumerate}
\end{document}
