\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\rang}{\mathop{\mathrm{rang}}}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
8. gyakorlat: Vektortér konstrukciók, dimenziótétel}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item 
Álljon $V$ az összes nemnulla determinánsú $n\times n$-es mátrixból és az 
$n\times n$-es nullmátrixból. Bizonyítsuk be, hogy $V$ vektortér.
%figyelem, nem az!

\item 
Legyen $V$ vektortér és $W\subseteq V$ egy részhalmaza. Bizonyítsuk be, 
hogy $W$ akkor és csak akkor altér, ha minden $\alpha$, $\beta$ skalárra
és $\ve w,\ve u\in W$ vektorra $\alpha\ve w+\beta\ve u\in W$.

\item 
Tegyük fel, hogy $V=\prod\limits_{j=1}^{\infty}\R$ direkt szorzat, azaz $V$ a
végtelen hosszú valós számsorozatok vektortere. Tekintsük ebben a
\[
B=\left\{(1,0,0,0,\dots)^T,(0,1,0,0,\dots)^T,(0,0,1,0,\dots)^T,\dots\right\}
\]
végtelen vektorrendszert. Milyen alteret generál $V$-ben $B$?

\item \hf
Legyen $V=\left\{p(x)\in\R[x]\colon\deg p\leq 5\text{, és }p(1)=0\right\}$.
Mutassuk meg, hogy $V$ vektortér és számoljuk ki $\dim V$-t.

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha $A=\left(\ve v_1\dots\ve v_m\right)$ egy 
$n\times m$-es mátrix, akkor $\im A$ éppen a $\{\ve v_1\dots\ve v_m\}$ 
vektorok által generált altér. Emiatt igaz, hogy $\rang A=\dim\im A$.

\item
Számítsuk ki az $\Lek A\colon(x,y,z)^T\mapsto(x+y-2z,x+z,2x+y-z,-x-z)^T$
leképezés $A$ mátrixának rangját!
Hány dimenziós $A$ magtere és képtere? Adjuk meg a $\Ker \Lek A$ és 
$\im \Lek A$ egy-egy bázisát!

\item \hf
Hány dimenziós alteret generál az
\[
\left\{
\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\\3\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\-1\\3\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)
\right\}
\]
vektorrendszer a $\C^3$ vektortérben? Adjuk meg ennek az altérnek egy 
bázisát, illetve válasszuk ki a fenti 5 elem közül az altér egy bázisát.

\item 
Legyenek $W_1$ és $W_2$ alterek $V$-ben, $\dim V=40$, $\dim W_1=23$
és $\dim W_2=18$. Bizonyítsuk be, hogy $W_1 \cap W_2 \neq \{\ve0\}$ 

\item 
Tegyük fel, hogy az $\Lek A, \Lek B : V_1 \to V_2$ lineáris leképezésekre 
$\Ker \Lek A \subseteq \Ker \Lek B$ és $\im \Lek A \subseteq \im \Lek B$. 
Bizonyítsuk be, hogy ekkor $\Ker \Lek A = \Ker \Lek B$, és 
$\im \Lek A = \im \Lek B$.

\item
Legyen $\Lek A\colon V\to V$ lineáris transzformáció egy véges dimenziós
$V$ vektortéren. Mutassuk meg, hogy vagy
$V=\im\Lek A\oplus \Ker\Lek A$ vagy vagy $A^2$ rangja kisebb $A$ rangjánál,
ahol $A$ az $\Lek A$ leképezés mátrixa.

\item \hf
Legyen $\Lek A\colon V\to V$ lineáris transzformáció egy véges dimenziós
$V$ vektortéren. Mutassuk meg, hogy $\Lek A$ pontosan akkor szürjektív, ha 
nincs olyan $\ve v_1,\ve v_2\in V$ különböző vektor, amikre 
$\Lek A\ve v_1 = \Lek A\ve v_2$ fennáll.

\end{enumerate}
\end{document}
