\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
9. gyakorlat: Az $\R^3$ vektortér, bilineáris függvények}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item 
Bizonyítsuk be, hogy a vektoriális szorzás antiszimmetrikus
bilineáris leképezés, azaz teljesül rá
\begin{enumerate}
\item $\ve v\times\ve w=-\ve w\times\ve v$
\item $(\lambda\ve v)\times\ve w=\lambda(\ve v\times\ve w)$
\item $(\ve v_1+\ve v_2)\times\ve w=\ve v_1\times\ve w+\ve v_2\times\ve w$.
\end{enumerate}

\item
Legyen $\ve i$, $\ve j$, $\ve k$ az $\R^3$ vektortér standard bázisa.
Mutassuk meg, hogy ha ebben a bázisban 
\[
\ve v=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)
\text{ és }
\ve w=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right),
\]
akkor
\[
\ve v\times\ve w=\left(\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1
\end{array}\right)
\]
Írjuk fel a 
$(\ve v,\ve w)\mapsto(\ve v\times\ve w \text{ $\ve i$ koordinátája})$ 
bilineáris függvény mátrixát.

\item 
\begin{enumerate}
\item Számoljuk ki a $\ve v$ irányvektorú, origón átmenő egyenesre vetítés 
mátrixát a skaláris szorzás segítségével.
\item Írjuk fel a $\ve v$ normálvektorú, origón átmenő síkra vetítés 
mátrixát.
\item \hfa Oldjuk meg az előző két feladatot vetítés helyett tükrözéssel.
\end{enumerate}

\item 
Határozzuk meg az origón és a $(1,0,1)$, $(2,1,1)$ pontokon átmenő sík 
egyenletét. Írjuk fel az erre a síkra vonatkozó tükrözés mátrixát.

\item
Legyen a $\varphi(\ve v,\ve w)$ bilineáris fügvény mátrixa $\R^3$ 
standard bázisában
\[
\text{(a)~} 
A=
\left(\begin{array}{ccc}
4&2&0\\
0&1&1\\
3&0&2
\end{array}\right)
\text{~~~~~~~~$\bullet$~~(b)~}
B=
\left(\begin{array}{ccc}
1&3&4\\
-1&2&0\\
0&0&1
\end{array}\right).
\]
Keressünk a $\varphi$ által megadott skaláris szorzásra nézve 
ortonormált bázist. Írjuk fel az új bázisban $\varphi$ mátrixát.

\item 
Bizonyítsuk be, hogy ha egy $V$ valós vektortérben valamely 
$\varphi(\ve v,\ve w)$ bilineáris függvény által definiált skaláris szorzásra 
$\{\ve v_1,\dots,\ve v_n\}$ ortonormált vektorrendszer, akkor 
$\{\ve v_1,\dots,\ve v_n\}$ lineárisan független.
Mutassuk meg, hogy ha $\dim V=n$ is teljesül, akkor $\varphi(\ve v,\ve v)$
kvadratikus alak pozitív definit.

\item
Adjuk meg az alábbi valós kvadratikus alakokhoz tartozó szimmetrikus 
bilineáris függvényeket. Határozzuk meg a jellegüket (pozitív definit, 
pozitív szemidefinit, stb).
\begin{enumerate}
\item $x_1^2+x_1x_2$
\item $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2$
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg az $\conj x_1x_1+\conj x_1x_2+3\conj x_2x_1-2\conj x_2x_2$
komplex kvadratikus alakhoz tartozó bilineáris függvényt.

\item \hf
Igazoljuk, hogy egy $A$ négyzetes mátrix pontosan akkor ortogonális (azaz 
$A^{-1}=A^T$), ha oszlopai ortonormált vektorrendszert alkotnak (tehát az 
$\ve a_i=(a_{1i},\dots,a_{ni})$ és $\ve a_j=(a_{1j},\dots,a_{nj})$ 
oszlopokra $\sum\limits_{\ell=1}^na_{\ell i}^2=1$ és 
$\sum\limits_{\ell=1}^na_{\ell i}a_{\ell j}=0$, ha $i\neq j$).


\end{enumerate}
\end{document}
