\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
10. gyakorlat: Sajátérték, sajátvektor}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item 
Bizonyítsuk be, hogy $\det A=0$ pontosan akkor, ha $A$-nak $0$ sajátértéke.
Mutassuk meg, hogy amennyiben $A$ invertálható, akkor $A^{-1}$ sajátértékei
éppen $A$ sajátértékeinek reciprokai.

\item Egy $F$ test feletti négyzetes $A$ mátrixra $A=A^3$. Bizonyítsuk be, 
hogy $A$-nak van sajátvektora, és sajátértékei csak a $-1, 0, 1$ lehetnek.

\item 
Adjuk meg az alábbi komplex elemű mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait. Ha
van, adjunk meg sajátvektorokból álló ortonormált bázist.
\[
\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\text{ ,~~~~~}
\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{array}\right)\text{ ,~~~~~}
\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&3\\0&-1&-2\end{array}\right).
\]

\item
Egy valós bilineáris függvény mátrixa egy bázisban 
\[
\left(\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\end{array}\right)
\]
Határozzuk meg a hozzá tartozó kvadratikus alak mátrixát és jellegét!
Adjunk meg $\R^2$-ben olyan bázist, amelyben a kvadratikus alak négyzetösszeg,
és írjuk fel ebben a bázisban a kvadratikus alakot.

\item
Hozzuk kanonikus alakra a $8y^2+6xy+6x-2y+1=0$ másodrendű görbe egyenletét,
ábrázoljuk a görbét és az új koordinátarendszer tengelyeit az eredeti 
koordinátarendszerben.

\item 
Van-e az $\R^2$ vektortéren olyan lineáris transzformáció, amelynek 
nincs sajátvektora? És $\R^3$-ben?

\item 
Legyenek $\ve v_1,\ve v_2, \dots, \ve v_k$ az $A$ lineáris
transzformáció olyan sajátvektorai, amelyekhez csupa
különböző sajátérték tartozik. Bizonyítsuk be, hogy  $\ve v_1,\ve v_2,
\dots, \ve v_k$ lineárisan független!

\item 
Tegyük fel, hogy $AB=BA$ komplex elemű mátrixok. Mutassuk meg, hogy 
van $A$-nak és $B$-nek közös sajátvektora.

\end{enumerate}
\end{document}
