\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Lek}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra 2004/2005 ősz\\
11. gyakorlat: Mátrixok hasonlósága, Jordan-féle normálalak}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Mutassuk meg, hogy az alábbi (valós) mátrixok mind hasonlók:
\begin{enumerate}
\item 
$\left(\begin{array}{cc}
0&a\\
0&0
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{cc}
0&b\\
0&0
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{cc}
0&0\\
c&0
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{cc}
0&0\\
d&0
\end{array}\right)$,~~ahol $a,b,c,d$ tetszőleges nemnulla számok;

\item
$\left(\begin{array}{cc}
1&a\\
0&1
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{cc}
1&b\\
0&1
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
c&1
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
d&1
\end{array}\right)$,~~ahol $a,b,c,d$ tetszőleges nemnulla számok;

\item
$\left(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&c
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{cc}
a&0\\
0&c
\end{array}\right)$,~~ahol $a\neq c$ tetszőleges számok;

\item
$\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{array}\right)\text{,~~}\left(\begin{array}{ccc}
3&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Mi az alábbi $A$ mátrixok $J$ Jordan-féle normálalakja?
%\item Mik $A$  determinánsosztói és az invariás faktorai?
\item $A^{100}=?$
\item $e^J=?$
\item $e^{3A}=?$
\end{enumerate}
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1&1&\dots&1\\
1&1&\dots&1\\
&&\dots\\
1&1&\dots&1
\end{array}\right)\text{~~~~~~}\left(\begin{array}{ccc}
2&3&9\\
0&0&0\\
0&0&-5
\end{array}\right)\text{~~~~~~}\left(\begin{array}{ccc}
2&3&9\\
0&2&0\\
0&0&-5
\end{array}\right)\text{~~~~~~}\left(\begin{array}{ccc}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{array}\right)
\]

\item
Bizonyítsuk be, hogy amennyiben valamely $m$ egészre $A^m=I$, akkor
$A$ diagonalizálható.

\item 
Mutassuk meg, hogy előfordulhat, hogy két mátrix nem hasonló,
de karakterisztikus és minimálpolinomjaik megegyeznek.
Mutassuk meg, hogy  $3\times 3$-as mátrixra nincs ilyen ellenpélda.

\item 
Legyen $A^k=0$  (azaz $A$ nilpotens mátrix). Mi lehet
$A$ karakterisztikus és minimálpolinomja?

\item
Van-e olyan $3\times 3$-as $\Q$ elemű mátrix, amelynek minimálpolinomja:
\begin{enumerate}
\item $x^2-2$
\item $x^2+x$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
