
\overfullrule=0pt
\nopagenumbers
\def\veg{\hfill\break}
\noindent
2004.jan.6. 13h\veg
Munkaid\H o 90 perc,\veg
Minden p\'elda 20 pont\veg

{\bf\centerline { Line\'aris algebra vizsgaz\'arthelyi }}\veg
{\bf\centerline {M\'ern\"ok Fizikus I. \'evfolyamok sz\'am\'ara }}\veg


\noindent
1.a) Hat\'arozzuk meg annak az $\underline{\underline A}=\pmatrix{
7 & -1 \cr
4 &  3 \cr
}$ m\'atrixnak a $\underline{\underline J}$ Jordan-f\'ele norm\'alalakj\'at
\'es egy olyan $\underline{\underline C}$ regul\'aris m\'atrixot, melyre
$\underline{\underline {C^{-1}}}\underline{\underline A}\underline{\underline C}=
\underline{\underline J!}$\veg 
b)H\'any line\'arisan f\"uggetlen saj\'atvektora van
 $\underline{\underline A}$-nak?\veg
c)Sz\'am\'\i tsuk ki $e^{3\underline{\underline A}}$-t!\veg
d)Mi lesz $e^{3\underline{\underline A}}$ saj\'at\'ert\'ekei \"osszege
\'es szorzata?\veg
V\'alaszait indokolja!\veg

\noindent
2.Adjuk meg annak a line\'aris transzform\'aci\'onak a m\'atrix\'at, amely
az $(R^3,(,))$ euklideszi t\'er
$\pmatrix{
1\cr
1\cr
-2\cr
}$ vektor\'at
$\pmatrix{
1\cr
1\cr
1\cr
}$
vektorba viszi, a r\'a mer\H oleges orig\'on \'atmen\H o s\'\i kon pedig
identikusan hat!\veg

\noindent
3. Legyenek $f(\underline u,\underline u)=2u^2_1+2u_1u_2+2u^2_2$ \'es
$g(\underline u,\underline u)=u^2_1$ $R^2$-en \'ertelmezett $f, g$
szimmetrikus biline\'aris f\"uggv\'enyekhez tartoz\'o kvadratikus alakok
egy r\"ogz\'\i tett b\'azisban fel\'\i rva!
\veg
a)\'Irjuk fel ugyanebben a b\'azisban az $f(\underline u,\underline v)$ \'es
$g(\underline u,\underline v)$ szimmetrikus biline\'aris f\"uggv\'enyeket
\'es azok m\'atrixait!\veg
b)Mit modhatunk $f$ \'es $g$ definits\'eg\'er\H ol?\veg
c)Hat\'arozza meg az $(R^2,f)$ euklideszi t\'er egy ortonorm\'alt b\'azis\'at!\veg
d)\'Irjuk fel ebben az ortonorm\'alt b\'azisban az $f(\underline u,\underline u)$
\'es $g(\underline u,\underline u)$ kvadratikus alakokat \'es ezek m\'atrixait!\veg
V\'alaszait indokolja!\veg

\noindent
4.Bizony\'\i tsuk be, hogy ha $\underline{\underline A}$ $n\times n$-es
\"onadjung\'alt $\underline{\underline U}$  pedig $n\times n$-es unit\'er
m\'atrix, akkor $\underline{\underline U^{-1}}\underline{\underline A}
\underline{\underline U}$ szint\'en \"onadjung\'alt m\'atrix!\veg

\noindent
5.Az $R \rightarrow R$ val\'os f\"uggv\'enyek $R$-feletti vektorter\'enek
tekints\"uk a $\cos ^2(x), \sin ^2(x)$ \'es a konstans $\Pi $ f\"uggv\'enyek
\'altal gener\'alt alter\'et!\veg
a) H\'any dimenzi\'os ez az alt\'er? Adjunk meg benne egy b\'azist!\veg
b) Van-e ennek az alt\'ernek egy olyan $\phi $ line\'aris
 transzform\'aci\'oja, melyre $\phi (\cos ^2(x))=\sin ^2(x)$ \'es
$\phi (\sin ^2(x))=0$ ? Ha igen, akkor adjuk meg ennek a $\phi $-nek
a m\'atrix\'at a fenti b\'azisban! Mi lesz a lek\'epez\'es magtere, k\'eptere,
rangja, null\'\i t\'asa?\veg

\end


\end

