\overfullrule=0pt
\nopagenumbers
\def\veg{\hfill\break}
\noindent
2004. jan.23. 8h\veg
Munkaid\H o 90 perc,\veg
Minden p\'elda 20 pont\veg

{\bf\centerline { Line\'aris algebra vizsgaz\'arthelyi }}\veg
{\bf\centerline {M\'ern\"ok Fizikus I. \'evfolyamok sz\'am\'ara }}\veg


\noindent
1.Egy $\phi:R^2 \rightarrow R^2$ line\'aris transzform\'aci\'o
az $\underline {a_1}=-\underline i+\underline j$,   $\underline {a_2}=
\underline i + 2\underline {j}$ vektorokat a $\underline {b_1}= -\underline i$,
$\underline {b_2}=-\underline i + -\underline j $ vektorokba viszi.
Egy $\psi: R^2\rightarrow R^2 $ line\'aris transzform\'aci\'o $\underline a_1$
 ir\'anyban $3$-szoros ny\'ujt\'ast v\'egez.
Mibe viszi a $\phi + \psi $ line\'aris transzform\'aci\'o  a $3\underline i+
4\underline j$ vektort?\veg

\noindent
2.a)Hat\'arozzuk meg $R^4$-ben a $\underline {v_1}=[0,1,0,-1]$ vektor
\'altal gener\'alt alt\'er ortogon\'alis kieg\'esz\'\i t\H o alter\'enek
egy ortonorm\'alt b\'azis\'at (a szok\'asos $R^4$-beli skal\'arszorzatra
n\'ezve).\veg
b) \'Irjuk fel az $[1,2,3,4]$ vektor koordin\'atavektor\'at $R^4$-nek
abban a b\'azis\'aban, amelynek elemei $\underline {v_1}$ \'es
az a) pontban kapott b\'azis elemei.\veg
\veg




\noindent

\noindent
3. Adott $\underline{\underline J}\in M_8[C]$, ahol
$\underline{\underline J}=\pmatrix{
2 & 1  & 0  & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cr
0 & 2  & 0  & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cr
0 & 0  & 3  & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cr
0 & 0  & 0  & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cr
0 & 0  & 0  & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & \cr
0 & 0  & 0  & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cr
0 & 0  & 0  & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \cr
0 & 0  & 0  & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \cr}.$

\noindent
a) Hat\'arozzuk meg $\underline{\underline J}$ determin\'ansoszt\'oit \'es
invari\'ans faktorait!\veg
b) Sz\'am\'\i tsuk ki $\underline{\underline J}^{101}$-et!
Mik lesznek ennek a saj\'at\'ert\'ekei?\veg
c) Hasonl\'o-e $\underline{\underline J}$ egy diagon\'alis m\'atrixhoz?\veg
V\'alasz\'at indokolja!\veg


\noindent
4. Az $f:C^2\times C^2\rightarrow C$ komplex biline\'aris f\"uggv\'enyhez
 tartoz\'o kvadratikus alak az $\underline {e_1}=\underline i+ -\underline j$,
$\underline {e_2}=\underline i + 2\underline j$ b\'azisban 
$i\overline{u_1}u_2+\overline {u_1}u_1+\alpha \overline u_2u_1$.\veg
a)Hat\'arozzuk meg az $\alpha $ komplex sz\'am \'ert\'ek\'et \'ugy, hogy 
az $f$ biline\'aris f\"uggv\'eny Hermite-f\'ele legyen!\veg
b)\'Irjuk fel az \'\i gy kapott $f$ m\'atrix\'at az $\underline {e_1}$, $\underline {e_2}$
\'es az $\underline {f_1}=i\underline e_1$, $\underline {f_2}=\underline {e_2}$
b\'azisokban\veg
c) Hat\'arozzuk meg a kvadratikus alak jelleg\'et is! V\'alasz\'at indokolja!\veg

\noindent
5. a)Milyen $t$ val\'os param\'eterekre lesz
az al\'abbi egyenletrendszernek
v\'egtelen sok megold\'asa?\veg
$\pmatrix{ 1 & t & 1 \cr
            1 & 3 & -1 \cr
            t & 5 & 0 \cr}
\pmatrix{x\cr
          y\cr
          z\cr}=
\pmatrix{4\cr
          t\cr
          6\cr}.$\veg
b) Egy ilyen $t$ \'ert\'ekre oldjuk meg
az egyenletrendszert!\veg
c) Adjuk meg az egyenletrendszer egy\"utthat\'om\'atrix\'anak
saj\'at\'ert\'ekei \"osszeg\'et!\veg
\end
