\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
1. Mintazárthelyi, 2004.~10.~21.\\
A csoport}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item Legyen $n$ egész szám és $\varepsilon$ primitív $(2n)$-edik komplex 
egységgyök. Mennyi lesz ekkor az
\[
1+\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3+\dots+\varepsilon^{n-1}
\]
összeg?

\item Mi a gyöktényezős alakja az
\[
x^6-4x^5+3x^4+x^2-4x+3
\]
polinomnak?

\item Igazoljuk, hogy amennyiben $A$ invertálható mátrix és $A=BC$,
ahol $B$ és $C$ négyzetes mátrixok, akkor $B$ is invertálható!

\item Legyen $A$ $100\times100$-as nemnulla determinánsú mátrix.
Legkevesebb hány elemét kell megváltoztatni $A$-nak, hogy az új mátrix 
determinánsa 0 legyen?

\item Határozzuk meg a megoldások számát $a$ paraméter függvényében az
alábbi egyenletrendszerben!
\[
\begin{array}{ccc}
	 x + 2y -  z +  6u  & = & 1 \\
	3x + 3y -  z +  5u & = & 5 \\
       -2x - 7y + 4z - 25u & = & a
\end{array}
\]

\end{enumerate}



\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
1. Mintazárthelyi, 2004.~10.~21.\\
B csoport}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Milyen $z$ komplex számok elégítik ki a
\[
z^3\left|z^3\right|=6i
\]
egyenletet?

\item Írjuk fel azt a legalacsonyabb fokú egész együtthatós polinomot,
amelynek $1+i$ kétszeres, $\frac12$ egyszeres gyöke!

\item Melyek az 
\[
x^{2001}-667x^3+666
\]
polinom többszörös gyökei?

\item Igazoljuk, hogy amennyiben $A$ és $D$ $n\times n$-es mátrixok, 
$D$ diagonális, akkor
\[
(DAD)_{i,j}=D_{i,i}A_{i,j}D_{j,j}.
\]

\item Legyen $A$ $5\times 5$-ös mátrix, amelyre $1\le i\le 5$ esetén
$A_{i,i-1}=A_{i,i}=A_{i,i+1}=1$ és $A$ többi eleme pedig 0. Számoljuk 
ki $\det A$ értékét.

\end{enumerate}

\end{document}

