\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
1.~zárthelyi pótlása, 2004.~12.~15.}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Számoljuk ki 
\[
\sqrt[4]{1+i}
\]
összes lehetséges értékét.

\item 
Írjuk fel (komplex) gyöktényezős alakban az
\[
x^3+2x^2+2x+1
\]
polinomot.

\item
Legyen $A$ $n\times k$-as, $B$ pedig $k\times m$-es mátrix. Bizonyítsuk
be, hogy $(AB)^T=B^TA^T$.

\item 
Legyen $n$ pozitív egész és legyen $A$ az a $2n\times2n$-es mátrix, amelyre
\setlength{\arraycolsep}{1 pt}
\begin{eqnarray*}
A_{i,i}&=&1,\\
A_{i,n+i}&=&2,\\
A_{n+i,i}&=&2,\\
A_{n+i,n+i}&=&4
\end{eqnarray*}
minden $1\le i\le n$ esetén. Az $A$ mátrix többi eleme 0.
Határozzuk meg $A$ determinánsát, és adjuk meg $A^{-1}$-et, ha létezik.

\item 
Határozzuk meg, hogy $a$ paraméter mely értékei mellett hány megoldása 
van az alábbi egyenletrendszernek.
\setlength{\arraycolsep}{1 pt}
\[
\begin{array}{ccccccc}
x &+&y &+&z&=&1\\
-x&+&ay&+&z&=&1\\
2x&-&2y&+&3z&=&1
\end{array}
\]

\end{enumerate}

\end{document}

